上饶市2014届第二次高考模拟考试数学（理科）

试卷答案及评分标准

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

D

A

D

A

D

A

C

D



二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.
14.
15. （1）
（2）

三、解答题：共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 解：（1）

由
得：
，∴
……………2分

∴

由
得：
，

∴
的单调递减区间为：
…………………6分

（2）∵
，由余弦定理得：
，

即
，由正弦定理得：

，

，
，∴
……………9分

∵△
锐角三角形，∴
，

∴
的取值范围为
． …………………12分

17. 解：（1）∵ 抽到持“反对”态度的人的概率为0.05，

∴
=0.05，解得x=60． ……………………2分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． …… 4分

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人． ………… 6分

（2）由（I）知持“反对”态度的一共有180人，

∴ 在所抽取的6人中，农村居民为
=4人，城镇居民为
=2人，

于是第一组农村居民人数ξ=1，2，3， …………………… 8分

P(ξ=1)=
，P(ξ=2)=
，P(ξ=3)=
，

即ξ的分布列为：

ξ

1

2

3



P









?? ………… 10分

∴ Eξ=1×
+2×
+3×
=2． ………………………… 12分

18. 解：（1）点
都在函数
的图像上，
,

当
时，

当ｎ＝1时，
满足上式，所以数列
的通项公式为
…….4分

（2）由
求导可得

过点
的切线的斜率为
，
..

8分

是公差是4的倍数，

又
，
,解得ｍ＝27.

所以
，设等差数列的公差为
，则

，所以
的通项公式为
……12分

19. （1）（1）证明：建立如图所示，

∵

∴
即AE⊥A1D， AE⊥BD

∴AE⊥面A1BD ……………………3分

（2）由
∴取

设面AA1B的法向量为

，

由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为
……………………8分

（3）
，平面A1BD的法向量取

则B1到平面A1BD的距离d=
……………………12分

20. 解：（1）设点
，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故R的方程为
…………………… 4分

（2）设点
由（I）可知

……………………6分

①当直线
轴时

点
在轴上任何一点处都能使得
成立

②当直线MN不与轴垂直时，设直线

由
得

…………………… 9分

要使
，只需
成立……………………10分

即
即

即
故
,故所求的点Q的坐标为
时

使
成立.……………………13分

21. (本小题满分14分)

解（1）

函数
在[
,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以
． ……4分

（2）因为
，所以
， ……5分

因为
在区间
上不单调，所以
在（0，3）上有实数解，且无重根，

由
，有
=
，（
）

所以

……8分

（3）∵
，又
有两个实根
，

∴
，两式相减，得
，

∴
, ……10分

于是

． ……11分

．

要证：
，只需证：

只需证：
．(*) ……12分

令
，∴(*)化为
，只证
即可．
在（0，1）上单调递增，
，即
．

∴
．……14分