南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（4）

命题人：南昌二中 孙庆宏 审题人：南昌二中 曹玉璋

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i是虚数单位，a∈R．若复数
为实数，则a ＝

A．
B．
C．0 D．

2.（理）下列函数中，在其定义域上不是奇函数的是

A．
B．
C．
D．

（文）以下有关命题的说法错误的是

A．命题“若
”的逆否命题为“若
”

B．“
”是“
”的必要不充分条件

C．对于命题

D．若
为假命题，则p、q均为假命题

3．（理）已知数列
的通项公式
，若
或
为数列
的最小项，则实数
的取值范围

A．(3 , 4) B． [ 2 , 5 ] C． [ 3 , 4 ] D． [
]

（文）函数f(x)＝2
sin x cos x＋
cos 2x的最小正周期和振幅分别是

A．π，
B．π，
C．2π，1 D．π，

4．（理）
的最大值

A．
B．
C．
D．

1

2

3

8 9





1 2 2 7 9





0 0 3



（文）下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为

A. ．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6

5．（理）
展开式的项数为

A．21 B．28 C．36 D．45

（文）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，
为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是

A．
B．
C．
D．

6．（理）由曲线
与直线
围成的封闭图形的面积

A．24 B．36 C．42 D．48

（文）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(
)

A．a>0,4a-b＝0 B．a<0,4a-b＝0 C．a>0,2a-b＝0 D．a<0,2a-b＝0

7．如程序框图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x值}，集合B＝{y|框图中输出的y值}，全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时
＝

A．{－3，－1,5} B．{－3，－1,5,7}

C．{－3，－1,7} D．{－3，－1,7,9}

8.一个由三个正方体组成几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B.

C. 9.125 D．

9．（理）椭圆
上的点到圆
上的点的距离的最大值

A．11 B．9 C．
D．5

（文）如图，F1、F2是椭圆C1：
＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是

A.
B.
C.
D.

10如图中的阴影部分由底为
，高为
的等腰三角形及高为
和
的两矩形所构成．设函数
是图中阴影部分介于平行线
及
轴之间的那一部分的面积，则函数
的图象大致为

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分.把答案填在答题卷中的横线上.)

11．（理）在
中，
为钝角，设
,

则
的大小关系

（文）曲线y=
在
处的切线方程为 ．

12．（理）已知点
， O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x， y满足
则向量
在向量
方向上的投影的取值范围是

（文）已知数列
的通项公式
，若
或
为数列
的最小项，则实数
的取值范围

13. （理）若函数
,则

（文）设0≤α≤π，不等式x2－(2sin α)x＋
≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为________．

14．（理）若P，Q为
上在
轴两侧的点，则过P,Q的切线与
轴围成的三角形的面积的最小值

（文）直线
的任意点
,圆x2＋y2－2x－4y＝0上的任意点为
,线段
的长度最小值等于________．

15.（理科）选做题：本大题共2小题，任选一题作答. 若做两题，则按所做的第(1)题给分，共5分．

(1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），若以直角坐标系
的
点为极点，
为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程为
．若直线
与曲线
交于
两点，则
=

（2）（不等式选做题）若关于
的不等式
存在实数解，则实数
的取值范围是 .

（文科）已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题12分）

（理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．

（1）求
的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．

（文）已知数列
满足：
，
,
是数列
的前n项和.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
,证明：对于任意的n∈N*，都有

17（理）已知数列
满足：
，
,
是数列
的前n项和;数列
前n项的积为
，且
。

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
,证明：对于任意的n∈N*，都有

（文）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．

（1）求
的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由

18. 南昌某中学为了重视国学的基础教育，开设了A，B，C，D，E共5门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生：

（1）求恰有2门选修课没有被这4名学生选择的概率；

（2）设这4名学生选择A选修课的人数为 ξ ，求 ξ 的概率分布列及数学期望Eξ．

南昌某中学为了重视国学的基础教育，开设了A，B，C，D，E共5门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生：

（1） 求恰有2门选修课没有被这5名学生选择的概率；

（2）分别求出这4名学生选择A选修课的人数为 1和3的概率

19. （理）如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为
的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

．

（1） 求证：面PAB⊥平面PDC；

（2） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

（文）如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为
的正方形，其对角线交点为O，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

，．

（1） 求证：面PAB⊥平面PDC；

（2） 求点O到面PAB的距离．





已知在平面内点P满足
，M(-2 , 0)，N( 2, 0 )，O(0,0)

求点P的轨迹S；

（理）直线过点
与S交于点A，B，求
的面积的最小值。

（文）直线
与S交于点A，B，利用
表示
的面积函数表达式。

21.已知函数
，
，其中无理数e=2.71828….

（1）若
=0，求证：
；

（2）若
在其定义域内是单调函数，求p的取值范围；

（3）对于在区间（1,2）中的任意常数
，是否存在
使得
成立？若存在，求出符合条件的一个
；若不存在，请说明理由.

南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（4）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

理B

文D

D

B

C

理B

文A

D

A

理A

文D

C





二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分.把答案填在答题卷中的横线上.)

11

12

13

14

15



（理）















（文）









24π





三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16（理）解：（1）由
得
，

在△ABC中，
， 由
得
，由正弦定理得
，

所以，
；

（2）△ABC为等边三角形，下证之： 由
知

不失一般性，可设
，则
，消去
得
，

即
，所以
，
，即证．

（文）解（1）：由题知
，
，

∴
即数列
隔项成等差数列，

又

，∴n为奇数时，
；

n为偶数时，
. ∴
,

（2）由（1）知
，数列
成等差数列，

∴
，

∴

17（理）解（1）：由题知
，
，

∴
即数列
隔项成等差数列，

又

，∴n为奇数时，
；

n为偶数时，
.∴
,
，

n=1时
，
时
，∴
，
。

（2）由（1）知
，数列
成等差数列，

∴
，

∴

（文）（1）由
得
，

在△ABC中，
， 由
得
，由正弦定理得
，

所以，
；

（2）△ABC为等边三角形，下证之： 由
知

不失一般性，可设
，则
，消去
得
，

即
，所以
，
，即证．

18（理）解：（1）恰有2门选修课这4名学生都没选择的概率：P2=
=

（2）设A选修课被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3 ，4

P（ξ=0）=
=
， P（ξ=1）=
=
， P（ξ=2）=
=
，

P（ξ=3）=
=
， P（ξ=4）=
=

分布列如下图：

ξ

0

1

2

3

4



P













∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=

（文）解：（1）恰有2门选修课这4名学生都没选择的概率：P=
=

（2）设A选修课被这4名学生选择的人数为ξ，

P（ξ=1）=
=
， P（ξ=3）=
=
。

19（理）解：（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，

又
，所以△PAD是等腰直角三角形，且
，即PA⊥PD，

CD
PD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC，

又PA?面PAB，∴面PAB⊥面PDC；

（2）取PC的中点E,连接AC和BD,交点为F,

因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，CD⊥AD,所以CD⊥面PAD,即有CD⊥PD，

设PD的中点为M，连结EM，MF，EM//CD, 则EM⊥PD，

在△PAC中，EF//PA，PA⊥PD，可得PD⊥EF, 有PD⊥面EFM，于是PD⊥MF，

∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角。

由（1）PA⊥面PDC，EF⊥面PDC，有EF⊥ME, △FEM为直角三角形。

Rt△FEM中，
，
，
，

故所求二面角的正切值为
；

（文）（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，

∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又
，

所以△PAD是等腰直角三角形，且
，

即PA⊥PD，

CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC，

又PA?面PAB，∴面PAB⊥面PDC；

（2）因为PA=PD=

，AD=
，所以PD⊥PA

因为面PAD⊥底面ABCD交线为AD,AB⊥AD，AB?面ABCD

所以，AB⊥面PAD,有AB⊥PD ∴PD⊥面PAB，即点D到面PAB的距离为

又因为O 为线段BD的中点， 所以点O到面PAB的距离为
=

20解：（1）由题意可得点P的轨迹S是双曲线的右支：

（2）（理）解当
与
轴不垂直时，
的方程为

因为直线
与S交与点A，B，结合渐近线斜率可得
或

联立
与
，消元，可得：

，故

弦长

=

又点O到直线AB的距离
，

故
=
=

因为
=

令
，有
，

当
轴时，
，

所以，当
轴时，
的面积最小，最小值是
.

（2）（文）因为直线
与S交与点A，B，结合渐近线的斜率可得
或

联立
与
，消元，可得：

，故

弦长
=

又点O到直线AB的距离
，

=
=

因此，
的面积函数表达式：
，

21解：（1）证明：当p=0时，
.

令
，则

若
，则
，
在区间
上单调递增；

若
，则
，
在区间
上单调递减.

易知，当x=1时，
取得极大值，也是最大值.

于是
，即
，即

故若p=0，有

（2）
，令

①当p=0，
，则
在
上单调递减，故当p=0时符合题意；

②若p>0，

则当
，即
时，
在x>0上恒成立，故当
时，
在
上单调递增；

③若p<0，
的图像的对称轴为
，
，则
在x>0上恒成立，故当p<0时，
在
上单调递减.

综上所述，

（3）令
，则原问题等价于是否存在x0>0使得
成立，故只需满足
即可.

因为

而
，故
，

故当
时，
，则
在
上单调递减；

当
时，
，则
在
上单调递增.

易知
与上述要求的
相矛盾，故不存在
使得
成立.