南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（7）

命题人：南昌十七中 何东华 审校人：南昌十七中 熊桃春

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于

A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3} C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}

2．复数(i是虚数单位)的实部是．

A.  B．－ C．－i D．－

3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2＝3，a6＝11,则S7等于．

A．13 B．35 C．49 D．63

4（文）函数
的图象如右图所示，则导函数
的

图象的大致形状是

（理）如果
是二次函数, 且
的图象开口向上,顶点坐标为（1,
）, 那么曲线
上任一点的切线的倾斜角
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

5.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

A．
B．
C．
D．

6.（文）已知变量x，y具有线性相关关系，测得一组数据如下:（2，30），（4，40），

（5，60），（6，50），（8，70），若所求的回归直线的斜率为6.5，则在这些样本点中任取一点，它在回归直线上方的概率为

A.
B.
C.
D.

（理）春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”

能做到“光盘”



男

45

10



女

30

15



P(K2
k)

0.10

0.05

0.025



k

2.706

3.841

5.024



附：

参照附表，得到的正确结论是

A．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

7. 已知双曲线
右支上的一点
到左焦点距离与到右焦点的距离之差为
，且到两条渐近线的距离之积为
,则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

8. 某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的左（侧）视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为
和
的线段，则
的最大值为

A．
B．
C． 4 D．

9.（文）函数
的零点个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.4

（理）已知函数
，则下列关于函数
的零点的个数判断正确的是

A．当
时有3个零点，当
时有2个零点。

B．当
时有4个零点，当
时有1个零点。

C．无论
取何值均有2个零点 D．无论
取何值均有4个零点。

10. 已知函数
的图象与直线
交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为
，则
的值为

A．－1 B． 1－log20142013 C．-log20142013 　　D．1

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)

11．（文）已知函数
的图像恒过点
,若角
的终边经过点
，则
的值等于_______.

（理）由曲线
与直线
所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .

12．已知向量
，
，则
的最大值为 ___.

13．已知函数
,在其图象上点(
，
)处的切线方程为
,则图象上点(-
，
)处的切线方程为 ______________．

14．若函数
存在
，使
，则实数
的取值范围是_________________.

15. （文） 定义“正对数”：
现有四个命题：

①若a＞0，b＞0，则
②若a＞0，b＞0，则
③若a＞0，b＞0，则
④若a＞0,b＞0，则
.其中真命题的有 ,

15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第(1)题给分）

(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为
,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为　　　　　.?

(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式
的解集为　　　　　.?

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 向量q=（
，1），

p=（
，
）且
．求：

（1）求sin A的值； （2）求三角函数式
的取值范围．

17．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；

(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.

18.（本小题满分12分）

（文）某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,

①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的2所学校均为小学的概率.

（理）现有甲、乙两个项目,对甲项目投资十万元,一年可进行四次独立重复的投资(即甲项目的投资周期为3个月)每次成功的概率均为
,若成功一次,可得利润1万元,若失败,则利润为0,投资要么成功,要么失败.已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是
记乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整,设乙项目产品价格在一年内的下降次数为
,对乙项目每投资十万元,
取0、1、2时,一年后相应利润是1.4万元、1.1万元、0.4万元,随机变量
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(Ⅰ)求
的概率分布列和数学期望

(Ⅱ)当
时,求实数
的取值范围.

19（本小题满分12分）

（文）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥
，
垂直BD于F，E为BC的中点.

(1）求证:EF∥平面
；

(2）设正方形ABCD边长为a，求折后所得三棱锥
的侧面积.

（理）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；

(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分13分）

给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”。若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.

（1）求椭圆
的方程和其“准圆”方程.

（2）点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作直线
使得
与椭圆
都只有一个交点，且
分别交其“准圆”于点
，求证：
为定值.

21.（本小题满分14分）

（文）已知函数f（x）＝x3－bx2＋2cx的导函数的图像关于直线x＝2对称.

（1）求b的值;

（2）若函数f（x）无极值，求c的取值范围;

（3）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域.

（理）设函数

(1) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和
是函数
的两个不同零点，且
，求
。

(2) 若对任意
, 都存在
(e 为自然对数的底数)，使得
成立，求实数
的取值范围。

南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

C

文D

理B

B

文A

理C

D

D

文B

理B

A



二、填空题：每小题5分，共25分．

11.（文）
（理）
12. 3 13.
14.

15. （文） ①④ （理）(1)
　(2)

三、解答题：（本大题共6小题共75分）

16．解：（1）∵
，∴
，根据正弦定理，得
，

又
，
，

，
，又

；

（2）原式
，

，

∵
，且
∴
，∴
，

∴
，∴
的值域是

17.解　（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)①

∴an＋1＝＋＋＋…＋＋②

②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)， 故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．

(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①

则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②

①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝
－n×3n＋1

∴Hn＝
。

∴数列{cn}的前n项和Tn＝
＋
.

18.（文） (1)解:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)①解:在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为：{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},

{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

②解:从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.

所以P(B)=
=
.

（理）解:(1)由已知:
的概率分布列为
即

所以,
的概率分布列是:

0

1

2

3

4



















所以,

投资乙项目,则

,此时
,

,此时

,此时

故
的概率分布列为

1.4

1.1

0.4













所以,

(2)由
,得

考虑到
,得

所以,
的取值范围是

19.（文） (1)证明:根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，

A′F⊥BD于F，A′D＝A′B，∴F为BD的中点.

又∵E为BC的中点，∴EF∥CD.

∴EF∥平面A′CD.

(2)解:连接CF，∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，

∴A′F⊥平面BCD，∴∠A′FC＝90°.

∴A′C2＝A′F2＋FC2＝(
a)2＋(
a)2＝a2.

∴△A′BC和△A′DC都为边长为a的等边三角形.

∴S侧＝
a2＋
a2＋
a2＝
a2.

（理）解　以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、F(，，)、P(0,0，a)．

(1)·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.

(2)设G(x,0，z)，则G∈平面PAD.

＝(x－，－，z－)，

·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)＝a(x－)＝0，∴x＝；

·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)＝＋a(z－)＝0，∴z＝0.

∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．

(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．由得，即 取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．

cos<，n>＝＝＝，

∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为

20.解：（Ⅰ）
，
椭圆方程为

准圆方程为
。

（Ⅱ）①当
中有一条无斜率时，不妨设
无斜率，因为
与椭圆只有一个公共点，则其方程为
，当
方程为
时，此时
与准圆交于点
，

此时经过点
（或
）且与椭圆只有一个公共点的直线是
（或
），

即
为
（或
），显然直线
垂直；

同理可证
方程为
时，直线
垂直.

②当
都有斜率时，设点
，其中
.

设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为
，

则
消去
，得
.

由
化简整理得：

因为
，所以有
.

设
的斜率分别为
，因为
与椭圆只有一个公共点，

所以
满足上述方程
，

所以
，即
垂直.

综合①②知：因为
经过点
，又分别交其准圆于点
，且
垂直，所以线段
为准圆
的直径，所以
=4.

21.（文）解:（1）f′（x）＝3x2－2bx＋2c,

∵函数f′（x）的图像关于直线x＝2对称, ∴－
＝2, 即b＝6.

（2）由（1）知,f（x）＝x3－6x2＋2cx,f′（x）＝3x2－12x＋2c＝3（x－2）2＋2c－12,

当c≥6时,f′（x）≥0,此时函数f（x）无极值.

（3）当c＜6时,则f′（x）＝0有两个互异实根x1,x2,不妨设x1＜x2,则x1＜2＜x2,

当x＜x1时,f′（x）＞0,f（x）在区间（－∞,x1）内为增加的;

当x1＜x＜x2时,f′（x）＜0,f（x）在区间（x1,x2）内为减少的;

当x＞x2时,f′（x）＞0,f（x）在区间（x2,＋∞）内为增加的.

所以f（x）在x＝x1处取极大值,在x＝x2处取极小值.

因此,当且仅当c＜6时,函数f（x）在x＝x2处存在唯一极小值,所以t＝x2＞2,

于是g（t）的定义域为（2,＋∞）,

由f′（t）＝3t2－12t＋2c＝0得2c＝－3t2＋12t.

于是g（t）＝f（t）＝t3－6t2＋（－3t2＋12t）t＝－2t3＋6t2,t∈（2,＋∞）,

当t＞2时,g′（t）＝－6t2＋12t＝－6t（t－2）＜0,

所以函数g（t）在区间（2,＋∞）内是减少的.

故g（t）的值域为（－∞,8）.

（理）解:（Ⅰ）
，∵
是函数
的极值点，∴
.

∵1是函数
的零点，得
，

由
解得
.

∴
,
，

令
，
，得
； 令
得
，

所以
在
上单调递减；在
上单调递增.

故函数
至多有两个零点，其中

，

因为
，

，所以
，故
．

（Ⅱ）令
，
，则
为关于
的一次函数且为增函数，根据题意，对任意
，都存在
，使得
成立，则
在
有解，

令
，只需存在
使得
即可，

由于
=
，

令
，
，

∴
在(1，e)上单调递增，
，

①当
，即
时，
，即
，
在(1，e)上单调递增，∴
，不符合题意.

②当
，即
时，
，

若
，则
，所以在(1，e)上
恒成立，即
恒成立，

∴
在(1，e)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

若
，则
，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得
，∴在(1，m)上
恒成立，即
恒成立，
在(1，m)上单调递减,∴存在
，使得
，符合题意.

综上所述，当
时，对任意
，都存在
，使得
成立.