南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（6）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若

A．8 B.7 C.6 D.9

2. (理)不等式4x2－7x－2＜0成立的一个必要不充分条件是

A.
B.
∪(2，＋∞) C.
D．(－1,2)

(文)已知函数f(x)＝2x2－bx(b∈R)，则下列结论正确的是

A．?b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．?b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数

C．?b∈R，f(x)为奇函数 D．?b∈R，f(x)为偶函数

3．函数
的图象大致是

4.函数
的零点一定位于下列哪个区间

A.
B.
C.
D.

5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的体积是．

A．
B．

C．
D．

6．函数
在区间
上是增函数，且
，则

A.
B.
C.
D.

7.（理）若n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x6项的系数为

A.4 B．7 C．8 D．2

（文）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计（如图），甲乙两人的平均成绩分别是
、
，则下列说法正确的是

A.


,乙比甲成绩稳定,应选乙参赛 B.


,甲比乙成绩稳定,应选甲参赛

C.


,甲比乙成绩稳定,应选甲参赛D.


,乙比甲成绩稳定,应选乙参赛

8. （理）从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为

A．3 B．4 C．6 D．8

（文）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是

A．13,12 B．13,13 C．12,13 D．13,14

9． 若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则
的最小值为

A.
B.6 C．12 D．16

10．（理）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0

（文）已知函数
.若
在区间
上是减函数，且对任意的
，总有
，则实数
的取值范围是

A.
B.
C．
D．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分.把答案填在答题卷中的横线上.)

11.设m，n是两条不同的直线，
，
，
是三个不同的平面，给出下列命题：

①若
，
，则
； ②若
，
，则
；

③若
，
，则
； ④若
，
，
，则
；

⑤若
//
，
，
//
，则
．

上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）．.

12.（理）已知点
是
的重心，
(
,
)，若
，
，则
的最小值是 。

（文）已知向量
＝(－3，－4)，
＝(0，1), 点C对应的向量
＝
＋(
，且C点在函数y＝cos
x的图象上, 则实数(＝

13.设函数
若f(a)＋f(－1)＝3，则实数a＝ 。

14．已知A,B,P是双曲线－＝1(a>0,b>0)上不同的三个点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率的乘积kPA·kPB＝
，则该双曲线的离心率为 。

15.（理科）选做题：本大题共2小题，任选一题作答. 若做两题，则按所做的第（1）题给分，共5分．

（1）（坐标系与参数方程选做题）已知平面直角坐标系xOy内，直线l的参数方程式为
（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为
，则圆心C到直线l的的距离为 。

（2）（不等式选做题）已知函数
如果
，求
的取值范围为 .

（文）已知函数
如果
,求
的取值范围为 .

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

已知函数
，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. 若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.

（1）求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

（2）（理）在
且
求△
的面积.

（文）在
且
求角
的值.

17. （本小题满分12分）

（理）在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a5－a4＝8，又a2、a8的等比中项为16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋…＋>k对任意
且n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的值或范围；若不存在，请说明理由．

（文）在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a5－a4＝8，又a2、a8的等比中项为16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，求和＋＋…＋。

18.（本小题满分12分）

（理）某投资公司在2014年年初准备将1000万元投资到“节能减排”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：智能电网．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
，也可能亏损
，且这两种情况发生的概率分别为
和
；

项目二：光伏发电．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
，可能损失
，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
、
和
．

（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；

（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：
，
）

（文）某班同学利用国庆节进行社会实践，对
岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求
的值；

（2）从年龄段在
的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在
岁的概率。

19.（本小题满分12分）

（理》）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
，PA⊥平面ABCD，PA=4．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为
，求
的值．

（文）如图所示，在正三棱柱
中，底面边长和侧棱都是2，D是侧棱
上任意一点．E是
的中点．

（1）求证：
平面ABD；

（2）求证：
；

（3）求三棱锥
的体积。

20．（本题满分13分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线

的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线
上，求直线AC的方程。

21．（本小题满分14分）

对于函数
，若在定义域内存在实数x，使得
，则称
为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数
，试判断
是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）若
是定义在区间
上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；

（3）（理）若
为定义域
上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

（文）若
为定义域
上的“局部奇函数”，求证：若
，则
.

南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（6）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

A

A

B

A

理A

文 D

理D

文B

D

理C

文B





二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分.把答案填在答题卷中的横线上.)

11.②⑤; 12． 理
;文3; 13. ±4; 14.
;

15理（1）
;（2）
文

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋.令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1. 得f(x)＝sin(2x＋)＋. 经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋.

当x＝2kπ＋
π，k∈Z时，函数取得最大值. 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，

即x∈[2kπ＋
π，2kπ＋
π]，k∈Z为函数的单调递减区间.

（2）（理）f(x)＝sin(2x＋)＋，
，
，

而
，
，
，

由余弦定理知
，
，

联立解得
，
。

（文）f(x)＝sin(2x＋)＋，
，
，

而
，
，
。

17.解：（理）(1)设数列{an}的公比为q,由题意可得a5＝16,又a5－a4＝8,则a4＝8.∴q＝2.

∴an＝2n -1, n∈N*

(2)∵bn＝log42n -1＝
，由
1=1, 得b1=0, 数列{bn}为等差数列，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝
. ∵＝
，

∴＋＋…＋＝
即
，

∴正整数k的值为1.

（文）(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a5＝16，又a5－a4＝8，则a4＝8，∴q＝2.

∴an＝2n -1, n∈N*.

(2)∵bn＝log42n -1＝
，由
1=1, 得b1=0, 数列{bn}为等差数列，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝
. ∵＝
，

∴＋＋…＋＝
.

18.（理）解：（1）若按“项目一”投资，设获利
万元，则
的分布列为

300

-150












（万元）;

若按“项目二”投资，设获利
万元，则
的分布列为

500

-300

0














（万元），而

所以，
，
，说明项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥。因此建议公司选择项目一投资。

（2）假设投资公司按照项目一长期投资，
年后总资产可以翻一番。依题意：

即
取对数得：

故大约4年后，即2018年底总资产可以翻一番

（文）解：（1）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.02）×5=0.3.所以高为

第一组人数为
，频率为0.04×5=0.2.所以
。

又题可知，第二组的频率0.3，第二组人数为
，所以
。

第四组的频率0.03×5=0.15，所以第四组人数为
，所以
。

（2）因为
岁年龄段的“低碳族”与
岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，
岁中有4人，
岁中有2人，设
岁中的4人为a,b,c,d.
岁中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有(a,b), (a,c), (a,d), (a,m), (a,n), (b,c), (b,d), (b,m), (b,n), (c,d), (c,m), (c,n), (d,m), (d,n), (m,n),共15种；其中恰有1人年龄在
岁的有(a,m), (a,n), (b,m), (b,n), (c,m), (c,n), (d,m), (d,n)，共8种. 所以选取的2名领队中恰有1人年龄在
岁的概率为
.

19.（理）解：（1）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD=
，AC=
．

∵AB∥DC，∴
，∴
,
．

∴

∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．

∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），

B（4，0，0），D（0，
，0），C（2，
，0），

P（0，0，4）．∴
，

设
，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴
．
，

由（1）可知
为平面PAC的法向量．

∴
=
=

，

∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为
，

∴
=
，化为12λ=7，解得
．∴
=
．

（文）（1）证明：由正三棱柱的性质知
，

因为
平面ABD，
平面ABD

所以
平面ABD 。

（2）解：设AB中点为G，连
，

∵
为正三角形，且G为中点，∴

又 则
，

∴

，所以
，

而
平面
，所以
。

（3）由题意可知：

20．解：（1）设
由抛物线定义，

，
M点C1上，

，

舍去.

，
椭圆C1的方程为

（2）
为菱形，
，设直线AC的方程为
，

在椭圆C1上，

设
，则

的中点坐标为
，由ABCD为菱形可知，点
在直线BD：
上，

∴直线AC的方程为

21．解：
为“局部奇函数”等价于关于x的方程
有解．

（1）当
时，

方程
即
有解
， 所以
为“局部奇函数”．

（3）（理）当
时，
可化为

．

，则
，

从而
在
有解即可保证
为“局部奇函数”．

令
，

1° 当
，
在
有解，

由
，即
，解得
；

2° 当
时，
在
有解等价于

解得
．

（说明：也可转化为大根大于等于2求解）

综上，所求实数m的取值范围为
．

（文）
为定义域
上的“局部奇函数”，
可化为

（
时等号成立），即
。

设
（
），由
，

显然，由图像知，
成立，所以
,

函数
在
上递增，则

即
成立。