江苏省赣榆县清华园学校2014届高三培优班考前测验试题（二）

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．命题“若一个数是负数，则它的平方数正数”的逆命题是 ．

2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，M
U，
＝{5，7}，则实数a＝ ．

3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品．

4．若
＝
＋
是偶函数，则实数a＝ ．

5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 ．

6．如右图，函数y＝
的图象在点P处的切线方程，y＝－x＋5，在
－
＝ ．

7．定义某种新运算
：S＝a
b的运算原理如图所示，则5
4－3
6＝ ．

8．如图，四边形ABCD中，若AC＝
，BD＝1，则
＝ ．

9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ．

10．若A，B，C为△ABC的三个内角，则
＋
的最小值为 ．

11．双曲线
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是
，
，过
作倾斜角
的直线交双曲线右支于M点，若
垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝ ．

12．在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |
＋
≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝
＋
，y＝
＋
，(
，
)∈A，(
，
)∈B}所表示的区域的面积为 ．

13．已知函数
＝
＋
＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是 ．

14．定义函数
＝
，其中
表示不超过x的最大整数， 如：
＝1，
＝－2．当x∈
，
(n∈
)时，设函数
的值域为A，记集合A中的元素个数为
，则式子
的最小值为 ．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知
的面积为
，角
的对边分别为
，
．

⑴求
的值；

⑵若
成等差数列，求
的值．

16．（本小题满分14分）

在棱长都相等的斜三棱柱ABC－DEF中，BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE．

（1）求证AO⊥平面FEBC；

（2）求证四边形BCFE为正方形．

17．（本小题满分14分）

某市近郊有一块大约400m×400m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.

（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；

（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：
的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且
．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

19．已知数列
满足：
，
，
．

⑴若
，求数列
的通项公式；

⑵设
，数列
的前
项和为
，证明：
．

20．（本小题满分16分）

对于函数y＝
，x∈(0，
，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么
，
，
也是一个三角形的三边长， 则称函数
为“保三角形函数”．

对于函数y＝
，x∈
，
，如果a，b，c是任意的非负实数，都有
，
，
是一个三角形的三边长，则称函数
为“恒三角形函数”．

（1）判断三个函数“
＝x，
＝
，
＝
(定义域均为x∈(0，
)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；

（2）若函数
＝
，x∈
，
是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

（3）如果函数
是定义在(0，
上的周期函数，且值域也为(0，
，试证明：
既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

江苏省赣榆县清华园学校高三培优班考前测验试题2

参考答案

1．若一个数的平方是正数，则它是负数．解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

2．8．解析：由a－5＝3，得a＝8．

3．1000．解析：因为a，b，c构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3000件，所以乙生产线生产了1000件产品．

4．－3．解析：由
是偶函数可知，
＝
对任意的x∈R恒成立，即
＋
＝
＋
，化简得2a＝－6，a＝－3．

5．
．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P＝
．

6．3．解析：函数y＝
的解析式未知，但可以由切线y＝－x＋5的方程求出
＝2，而
＝
＝－1，故
－
＝3．

7．1．解析：由题意知5
4＝5×(4＋1)＝25，3
6＝6×(3＋1)＝24，所以5
4－3
6＝1．

8．2．解析：
＝

＝
＝
＝
＝2．

9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为
，
，
，从而它们的表面积之比为1︰2︰3．

10．
．解析：因为A＋B＋C＝
，且(A＋B＋C)·(
＋
)＝5＋4·
＋
≥5＋
＝9，因此
＋
≥
，当且仅当4·
＝
，即A＝2(B＋C)时等号成立．

11．
．解析：如图，在Rt△
中，∠
＝
，
＝2c，所以
＝
＝
，
＝
＝
．所以2a＝
－
＝
－
＝
，故e＝
＝
．

12．18＋
．解析：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：
＋
＋
＋
＋
＝
×4×3＋(3＋4＋5)×1＋
＝18＋
．

13．(－3，－2)．解析：由题意知，三个交点分别为(1，0)，(
，0)，(
，0)，且0＜
＜1＜
．

由
＝0可知b＝－a－3，所以
＝
＋
＋3x＋b＝(x－1)(
＋ax＋a＋3)，故
＋ax＋a＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，
)内．

令
＝
＋ax＋a＋3，则
得－3＜a＜－2．

14．13．解析：当x∈
，
时，
＝
＝
＝0；

当x∈
，
时，
＝
＝
＝
＝1；

当x∈
，
时，再将
，
等分成两段，x∈
，
时，
＝
＝
＝
＝4；x∈
，
时，
＝
＝
＝
＝5．

类似地，当x∈
，
时，还要将
，
等分成三段，又得3个函数值；将
，
等分成四段，得4个函数值，如此下去．当x∈
，
(n∈
)时，函数
的值域中的元素个数为
＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1＋
，于是
＝
＋
－
＝
－
，所以当n＝13或n＝14时，
的最小值为13．

15．

⑴由
，得
，即
．……………2分

代入
，化简整理得，
．……………………………………4分

由
，知
，所以
．………………………………………6分

⑵由
及正弦定理，得
，

即
，………………………………………………………………8分

所以
．①

由
及
，得
，……………………………………………10分

代入①，整理得
．

代入
，整理得
，……………………………12分

解得
或
．

因为
，所以
．…………………………………………………………14分

16．16．（1）因为BCFE是菱形，所以，BF⊥EC．

又BF⊥AE，AE∩EC＝E，所以，BF⊥平面AEC．

因为AO(平面AEC，

所以，BF⊥AO ……………………………………………………………4分

因为AE＝AB＝AC，OE＝OC，所以，AO⊥EC，

由BF∩EC＝O，，所以，AO⊥平面BCFE …………………………8分

（2）因为AO⊥平面BCFE，所以，AO⊥OE，AO⊥OB，