江苏省赣榆县清华园学校2014届高三培优班考前测验试题（一）

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．

1．已知集合M={－1，1}，
，则
▲ ．

2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）

的概率为 ▲ ．

3．设
（i为虚数单位），则
▲ ．

4．根据右图的算法，输出的结果是 ▲ ．

5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 ▲ 人．

6．若“
”是 “
”的必要不充分条件，则
的最大值为 ▲ ．

7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：

（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．

上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．

8．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若
＝
，则x＋y＋z＝

9．函数
，又
，
，且
的最小值等于
，则正数
的值为 ▲ ．

10．若圆C：
在不等式
所表示的平面区域内，则
的最小值为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系
中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点，若点C在
的平分线上，且
，则点C的坐标是 ▲ ．

12．已知函数
，若
在（1，3]上有解，则实数
的取值范围为 ▲ ．

13．已知
，若对
，
，
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14．已知等腰三角形腰上的中线长为
，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．

二、解答题：

15.（本小题满分14分）

在
中，已知角
的对边分别为
且
.

⑴求
;

⑵若
，求
.（结果用根式表示）

16.如图，直三棱柱
中，
、
分别是棱
、
的中点，点
在棱
上，已知
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）设点
在棱
上，当
为何值时，平面
平面
？

17. （本小题满分14分）

有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距
正比于车速
的平方与车身长
的积，且车距不得小于一个车身长
（假设所有车身长均为
）.而当车速为
时，车距为1.44个车身长.

⑴求通过隧道的最低车速；

⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量
最多？

18..如图，在平面直角坐标系
中，椭圆C：

（
）的左焦点为
，右顶点为A，动点M 为右

准线上一点（异于右准线与
轴的交点），设线段
交椭

圆C于点P，已知椭圆C的离心率为
，点M的横坐标为
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线PA的斜率为
，直线MA的斜率为
，求
的取值范围．

19．（本小题16分）

已知数列{an}的通项公式为an = (n(N()．

⑴求数列{an}的最大项；

⑵设bn = ，求实常数p，使得{bn}为等比数列；

⑶设
，问：数列{an}中是否存在三项
，
，
，使数列
，
，
是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

20．（本小题16分）

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足
，且
．

令
．

（1）求 g(x)的表达式；

（2）若函数
在
上的最小值为0，求
的值；

（3）记函数
，若函数
有5个不同的零点，求实数
的取值范围．

数 学 详 解 详 析

1.【答案】{1}

2．

【答案】0.2

【解析】p=1-(0.5+0.2+0.1)=0.2

3．设
（i为虚数单位），则
▲ ．

【答案】

【解析】

4．【答案】55

【解析】由For语句可得如下具体10次循环

I= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S=1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 所以S=55.

5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 ▲ 人．

【答案】690

【解析】设女生和男生总人数分别为
，

.

6．若“
”是 “
”的必要不充分条件，则
的最大值为 ▲ ．

【答案】

【解析】
由题可知集合
真包含集合

由上图可知：
，则
的最大值为-1.

7．

【答案】（2），（4）

【解析】⑴错误.因为
与
可能相交；⑶错误.因为直线
与
可能异面、相交和平行.

8．解：因为
＝

故x+y+z=0.

9．

【答案】1

【解析】

10．【答案】

【解析】当圆
与直线

相切时，
的取值最小
（舍去）.

11．在平面直角坐标系
中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点，若点C在
的平分线上，且
，则点C的坐标是 ▲ ．

【答案】

【解析】设直线BC的倾斜角为
，则∠AOB的角平分线所在直线的倾斜角为

，

,角平分线方程为
于是点
.

12．

【答案】

函数

的对称轴为

，于是函数

在区间

单调减，
.

13．已知
，若对
，
，
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

【答案】

【解析】

14．

【答案】2

【解析】设等腰三角形的顶角为A,腰长为2
，则

令
，则
，当
时
.

15.【解析】（1）由条件，得
.

所以

因为
是三角形内角，所以

（2）由
得

由正弦定理得

因为

所以

16.解：（1）连接
交
于
，连接
．

因为CE，AD为△ABC中线，

所以O为△ABC的重心，
．

从而OF//C1E．………………………………………………………………………………3分

OF
面ADF，
平面
，

所以
平面
．……………………………………………………………………6分

（2）当BM=1时，平面
平面
．

在直三棱柱
中，

由于
平面ABC，BB1
平面B1BCC1，所以平面B1BCC1
平面ABC．

由于AB=AC，
是
中点，所以
．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，

所以AD
平面B1BCC1．

而CM
平面B1BCC1，于是AD
CM．…………………………………………………9分

因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以
≌
，所以CM
DF． ………11分

DF与AD相交，所以CM
平面
．

CM
平面CAM，所以平面
平面
．………………………………………13分

当BM=1时，平面
平面
．…………………………………………………14分

17.【解析】（1）依题意，设
，其中
是待定系数，

因为当
时，

所以
，
，

所以

因为
，所以
，

所以最低车速为

(2)因为两车间距为
，则两辆车头间的距离为

一小时内通过汽车的数量为
，

因为
所以

所以当
即
时，单位时段内通过的汽车数量最多.

分

18．（本题满分15分）

（1）由已知，
，直线
．

设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（2，
）．

由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（2，3）．………………………4分

所以
，
．

．……………………………………7分

（2）设圆的方程为
，将A，F，N三点坐标代入，得

∵ 圆方程为
，令
，得
．…11分

设
，则
．

由线段PQ的中点坐标为（0，9），得
，
．

此时所求圆的方程为
．………………………………………15分

（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），

得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．…………………………………… 11分

易求得圆的半径为
，………………………………………………………………13分

所以，所求圆的方程为
．……………………………………… 15分

18.解：（1）由已知，得

…………………2分

解得
∴
………………………………4分

∴椭圆C的标准方程为
．………………………………6分

（2）设点
（
），点M
，

∵点
、P、M三点共线，
， ∴
，
，

∴点M
． ……………………………………………8分

∵
，
， ∴
=
=
． ………10分

∵点P在椭圆C上， ∴
， ∴
．

∴
=
=
=
．……………12分

∵
， ∴
．

∴
的取值范围是
． ……………………………………14分

19.解：⑴由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1 = 4．

⑵bn =  =  = ，若{bn}为等比数列，

则b – bnbn+2= 0(n(N( )，

所以 [(2 + p)3n+1 + ( 2 – p)]2 – [{2 + p)3n + (2 – p)][(2 + p)3n+2 + (2 – p)] = 0(n(N()，

化简得(4 – p2)(2·3n+1 – 3n+2 – 3n ) = 0即– (4 – p2)·3n·4 = 0,解得p = ±2．

反之,当p = 2时,bn = 3n,{bn}是等比数列;当p = – 2时,bn = 1,{bn}也是等比数列．

所以,当且仅当p = ±2时{bn}为等比数列．

⑶因为
，
，
，

若存在三项
，
，
，使数列
，
，
是等差数列，则
，

所以
=

，

化简得
（*），

因为
，所以
，
，

所以
，
，（*）的

左边
，

右边
，所以（*）式不可能成立，

故数列{an}中不存在三项
，
，
，使数列
，
，
是等差数列．

20解：（1）设
，于是

所以

又
，则
．所以
．

（2）

则
．

令
，得
（舍），
．

①当
>1时，

1













-

0

+