浙江建人高复2013学年第二学期第五次月考试卷

理 科 数 学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集
，集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2． 计算设复数
，
，则
在复平面内对应的点在 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知
成等差数列，
成等比数列，且
，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.
或

4．设
、表示两条直线，、
表示两个平面，下列命题中真命题是 ( )

A．若
，则
B．若

C．若
D．若

5．下列四个函数：①
②
③
④
，其中是偶函数，

又在区间（0，1）内增函数的函数个数是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

6．
，
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．实数、满足不等式组
则P=
的取值范围是( )

A．

B．
C．
D．

8．将三个分别标有A，B，C的小球随机地放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，则编号为1的盒子内有球的不同放法的总数为

A．27 B．37 C．64 D．81

9. 双曲线
的左右焦点为
，P是双曲线上一点，满足
，直线PF
与圆
相切，则双曲线的离心率e为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10、设函数
是定义在R上奇函数，且满足
对一切
都成立， 又当
时
，则下列四个命题：①
函数
是以4为周期的周期函数②当
时
③函数
图像的对称轴中有x=1④当
时
,其中正确的命题个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ．

12．
展开式中
的系数为 (用数字作答).

13．已知程序框图如右，则输出的= ．

14.已知函数

有三个不同零点，则实数的取值范围为___________ .

15. 已知函数
，如果
，则的取值范围是 ；

16.在
中，
，AB=4，AC=2，D是线段BC上的一点，DC=2BD，则
_____________.

17.若实数x,y满足

,则
的最小值是_________________.

三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（18）（本题14分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本

人教A版

人教B版

苏教版

北师大版



人数

20

15

5

10



（Ⅰ）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

19．（本题满分14分）

已知数列
，定义其倒均数是
。

（1）若数列{
}的倒均数是
，求数列{
}的通项公式
；

（2）设等比数列
的首项为－1，公比为
，其倒均数为
，若存在正整数k，使
恒成立，试求k的最小值．

20．（本小题满分15分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
AD=1，CD=
．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，

试确定t的值

21．（本小题满分15分）

已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为

，直线
交椭圆于不同的两点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若坐标原点
到直线的距离为
，求
面积的最大值．

22．（本小题满分14分）已知函数
，设曲线
在与轴交点处的切线为
，
为
的导函数，满足
．

（1）求
；

（2）设
，
，求函数
在
上的最大值；

（3）设
，若对一切
，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

理数答案：

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

C

D

D

C

B

C

C



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分．

11． 2 12．20 13．9 14．
15.

16.
17.

（18）（本题14分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本

人教A版

人教B版

苏教版

北师大版



人数

20

15

5

10



（Ⅰ）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

解：（Ⅰ）从50名教师随机选出2名的方法数为

选出2人使用版本相同的方法数为

故2人使用版本相同的概率为：
……6分

（Ⅱ）∵
，
，
.

0

1

2



P









∴
的分布列为

……12分

∴
.……14分

19．解： （1）依题意，

即
…………………2分

当

两式相减得，得
∴
……………………6分

当n=1时，
∴
=1适合上式…………………7分

故
…………………………8分

（2）由题意，
∴
……………..

………………11分

不等式
恒成立，即
恒成立。…………13分

当n=7时，
，取k=7，则当
时，
都成立，所以k的最小值为7.

。。。。。。。。。。。14

20．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………………9分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．

∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ．

∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．………………………………9分

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．

设
，则
，

，

∵
，

∴
， 　　　∴
　　　 …………………12分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
．………………………… 13分

∵二面角M-BQ-C为30°， ∴
，

∴
．……………………………………………………………………15分

21．解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意
，解得
.

所求椭圆方程为
………5分

（2）
可得
.

，

.

.

，
.

.

，

. …………15分

22．（本小题满分14分）已知函数
，设曲线
在与轴交点处的切线为
，
为
的导函数，满足
．

（1）求
；

（2）设
，
，求函数
在
上的最大值；

（3）设
，若对一切
，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）
，
，

函数
的图像关于直线
对称，则
．…………………………………2分

直线
与轴的交点为
，
，且
，

即
，且
，解得
，
．

则
． …………………………………………………………………5分

（2）
，
…………7分

其图像如图所示．当
时，
，根据图像得：

（ⅰ）当
时，
最大值为
；

（ⅱ）当
时，
最大值为
；

（ⅲ）当
时，
最大值为
． ……10分

（3）方法一：
，
，
，

当
时，
，

不等式
恒成立等价于
且
恒成立，

由
恒成立，得
恒成立，

当
时，
，
，
，……………………12分

又当
时，由
恒成立，得
，因此，实数的取值范围是
．……14分

方法二：（数形结合法）作出函数
的图像，其图像为线段
（如图），

的图像过点时，
或
，

要使不等式
对
恒成立，

必须
， …………………………………12分

又当函数
有意义时，
，

当
时，由
恒成立，得
，

因此，实数的取值范围是
． …………………………………14分

方法三：
，
的定义域是
，

要使
恒有意义，必须
恒成立，

，
，即
或
． ………………① …………………12分

由
得
，

即
对
恒成立，

令
，
的对称轴为
，

则有
或
或

解得
． ………………②

综合①、②，实数的取值范围是
． …………………………………14分