2014年高三教学测试（一）

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．B；

6．B； 7．B； 8．D； 9．C； 10．A．

第9题提示：

设椭圆
：
，双曲线
：
，则
，
，
，椭圆顶点
、
、焦点
到双曲线渐近线
的距离依次为
、
、
，从而
，所以
，即
，所以
，
，
．选C．

第10题提示：

在（2）
中，令
，得
，再由（1）
，得
；在（2）
中，令
，得
，从而
，所以
．所以

，故
既是增函数又是奇函数，选A．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11.； 12. 64； 13.
； 14.
；

15.
； 16.
； 17.
．

第17题提示：

，

因为
为偶函数，所以当且仅当
，即
时，
为奇函数，图像关于原点对称．

另解：

①若
，则

，图像不具有中心对称性；

②若
，则

．

若图像中心对称，则对称中心必为
．

从而，对任意
，
恒成立，

即

恒成立，

所以
，无解；

③若
，则

．

若图像中心对称，则对称中心必为
．

从而，对任意
，
恒成立，

即

恒成立，

所以
，故
．

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．（本题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
，求
的取值范围；

（Ⅱ）设△
的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，
，
，
，求
的值．

解：（Ⅰ）

….4分

∵
，∴
，
．

∴
． ….7分

（Ⅱ）由
，得
，

又为锐角，所以
，又
，
，

所以
，
． ….10分

由
，得
，又
，从而
，
．

所以，
…14分

19．（本题满分14分）

设数列
的前n项和为
，
，且
成等比数列，当
时，
．

（Ⅰ）求证：当
时，
成等差数列；

（Ⅱ）求
的前n项和
．

解：（Ⅰ） 由
，
，

得
，
………4分

当
时，
，所以
，

所以当
时，
成等差数列． ……….7分

（Ⅱ）由
，得
或

又
成等比数列，所以
（
），
，

而
，所以
，从而
．

所以
， ……….11分

所以
． ……….14分

20．（本题满分15分）

如图，四棱锥
的底面ABCD是平行四边形，
，
，
面
，设为
中点，点在线段
上且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设二面角
的大小为，若
，求
的长．

解：（Ⅰ）由
，
得
，
．

又
面
，所以以
分别为
轴建立坐标系如图．

则

设
，则
．

设
，
得：

．

解得：
，
，
，

所以
． ……..5分

所以
,
，
．

设面
的法向量为
，则
，取
．

因为
，且
面
，所以
平面
． ……..9分

（Ⅱ）设面
法向量为
， 因为
，
，

所以
，取
． …….. 11分

由
，得
．

，
，所以
． ….. 15分

21．（本题满分15分）

如图，两条相交线段
、
的四个端点都在椭圆
上，其中，直线
的方程为
，直线
的方程为
．

（Ⅰ）若
，
，求的值；

（Ⅱ）探究：是否存在常数，当变化时，恒有
？

解：（Ⅰ）由
，

解得
，
．……2分

因为
，所以
．

设
，则
，

化简得
，……5分

又
，联立方程组，解得
，或
．

因为
平分
，所以
不合，故
．……7分

（Ⅱ）设
，
，由
，得
．

，
，
．……9分

若存常数，当变化时，恒有
，则由（Ⅰ）知只可能
．

①当
时，取
，
等价于
，

即
，

即
，

即
，此式恒成立．

所以，存常数
，当变化时，恒有
．……13分

②当
时，取
，由对称性同理可知结论成立．

故，存常数
，当变化时，恒有
．……15分

22．（本题满分14分）

设函数
，
，
，

（Ⅰ）若曲线
与轴相切于异于原点的一点，且函数
的极小值为
，求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，

①求证：
； ②求证：
在
上存在极值点．

解：（Ⅰ）
，

依据题意得：
，且
．……2分

，得
或
．

如图，得
，

∴
，
，

代入
得
，
. ……4分

（Ⅱ）①
．

．……8分

②
，
．

若
，则
，由①知
，

所以
在
有零点，从而
在
上存在极值点． ……10分

若
，由①知
;

又
，

所以
在
有零点，从而
在
上存在极值点．……12分

若
，由①知
，
，

所以
在
有零点，从而
在
上存在极值点．

综上知
在
上是存在极值点． ……14分