2014年高三教学测试（一）

文科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B； 2．A； 3．D； 4．A； 5．B；

6．C； 7．C； 8．D； 9．A； 10．B．

第9题提示：

，
，设
，则
，

，又双曲线渐近线为
，

所以
，故
，选A．

第10题提示：

，

因为
为偶函数，所以当且仅当
，即
时，
为奇函数，图像关于原点对称．选B．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．
； 12．12.5；13； 13．
； 14．
；

15．49； 16．
； 17．
．

第17题提示：

解1：
，又
，依据线性规划知识，得
．

解2：
，由待定系数法得
．因为
，
，两式相加即得
．

解3：
，
，而
，所以
，又
，
，依据线性规划知识，
．

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．（本题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值域；

（Ⅱ）设△
的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，
，
，
，求
的值．

解：（Ⅰ）

． ….4分

所以函数
的值域是
． …7分

（Ⅱ）由
，得
，

又为锐角，所以
，又
，
，

所以
，
． ….10分

由
，得
，又
，从而
，
．

所以，
…14分

19．（本题满分14分）

已知数列
的前项和为
，
，若
成等比数列，且
时，
．

（Ⅰ）求证：当
时，
成等差数列；

（Ⅱ）求
的前n项和
．

解：（Ⅰ） 由
，
，

得
，
． ………4分

因为
，
，所以
．

所以，当
时，
成等差数列． ……7分

（Ⅱ）由
，得
或
．

又
成等比数列，所以
（
），
，

而
，所以
，从而
．

所以
， ……11分

所以
． ………. 14分

20．（本题满分15分）

已知四棱锥
的底面是平行四边形，
,
，
面
，且
. 若为
中点，为线段
上的点，且
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求PC与平面PAD所成角的正弦值.

（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，

取
中点，连接
、
、
.

因为、分别是
、
的中点，

所以
， ……3分

因为、分别是
、
的中点，

所以
， ……6分

所以，平面
平面
.

又因为
平面
，

故，
平面
. ……9分

（Ⅱ）解：因为
，
，所以
.

过C作AD的垂线，垂足为H，则
，
，所以
平面PAD.

故
为PC与平面PAD所成的角. ……………………12分

设
，则
，
，
，

所以
，即为所求. ……………………15分

21．（本题满分15分）

设函数
，
，
.

（Ⅰ）若
，求
的单调递增区间；

（Ⅱ）若曲线
与轴相切于异于原点的一点，且
的极小值为
，求
的值.

解：（Ⅰ）
，
．

令
，
，

当
时，由
得
．

①当
时，
的单调递增区间为
；………3分

②当
时，
的单调递增区间为
；……………………………5分

③当
时，
的单调递增区间为
.

……………………………7分

（Ⅱ）
，

依据题意得：
,且
① ……9分

，得
或
.……11分

因为
，所以极小值为
,

∴
且
，得
，…13分

代入①式得
，
. …………15分

22．（本题满分14分）

如图，两条相交线段
、
的四个端点都在抛物线
上，其中，直线
的方程为
，直线
的方程为
．

（Ⅰ）若
，
，求的值；

（Ⅱ）探究：是否存在常数，当变化时，恒有
？

解：（Ⅰ）由
，

解得
，
．……2分

因为
，所以
．

设
，则
，

化简得
，……5分

又
，联立方程组，解得
，或
．

（也可以从
，
来解得）

因为
平分
，所以
不合，故
．……7分

（Ⅱ）设
，
，由
，得
．

，
，
．……9分

若存在常数，当变化时，恒有
，则由（Ⅰ）知只可能
．

当
时，
，
等价于
，

即
，

即
，

即
，此式恒成立．

（也可以从
恒成立来说明）

所以，存在常数
，当变化时，恒有
．……14分