江西省南昌三中2014届高三第五次考试

数学（理）试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是 ( 　)

(A){x|－2≤x<1}　 (B){x|1

2. 函数y＝的定义域为(　　)

A. B. C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)

3. 若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为(　　)

A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．不能确定

4. 已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a等于(　　)

A．2 B．－2 C．2或－2 D.或－

5．平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足
则三角形ABC是 (　 　)

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等边三角形

6.已知函数f(x)＝，则f[f(2014)]＝________.

(A)0 (B) 1 (C) -1 (D)2

7. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m3)．(　　)

A．4＋2 B．4＋ C. D.

8. 已知函数f(x)＝sinx－cosx且f ′(x)＝2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则＝(　　)

A．－ B. C. D．－

9. 函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f(x＋1)为奇函数，当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．5

10. 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题　共100分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)

11. 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．

12函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω的值为________．

13. 若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则＋的最小值为________．．

14. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．

15. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则其焦距为________．

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(12分) 已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.

(1)求q的值；(2)若数列{bn}是等比数列，求出a1的值；

17.(12分) 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.

(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

18.(12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面
底面ABCD，侧棱
，底面ABCD是直角梯形，其中BC//AD，
是AD上一点.

（I）若AD=3OD，求证：CD//平面PBO；

（II）若
，求二面角C-PD-A的余弦值.

19.(12分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数
与时刻
（时）的关系为
，其中
是与气象有关的参数，且
，若用每天
的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作
．

（1）令
，
，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性

污染指数是否超标？

20.(13分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|<时，求实数t的取值范围．

21.(14分) 已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ)设
，若对任意
，均存在
，使得
， 求
的取值范围.

南昌三中2014届高三下学期第五次考试

数学（理）答卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（每小题5分,共25分）

11．_____________________　 12．_____________________　13．_____________________　 14．_____________________　15．_____________________　

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(12分) 已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn. (1)求q的值；(2)若数列{bn}是等比数列，求出a1的值；

17.(12分) 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.

(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

18.(12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面
底面ABCD，侧棱
，底面ABCD是直角梯形，其中BC//AD，
是AD上一点.

（I）若AD=3OD，求证：CD//平面PBO；（II）若
，求二面角C-PD-A的余弦值

19.(12分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数
与时刻
（时）的关系为
，其中
是与气象有关的参数，且
，若用每天
的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作
．（1）令
，
，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

20.(13分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|<时，求实数t的取值范围．

21.(14分) 已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ)设
，若对任意
，均存在
，使得
， 求
的取值范围.

高三数学（理）答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

A

C

B　

C

D

A

D

C



二、填空题（每小题5分,共25分）

11．______1_______________　 12．________1_____________　13．_______16______________　 14．________a ___ __________　

15．____________________　

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(12分)

解： (1)由题意知5S2＝4S4，S2＝，S4＝，

∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q>0，∴q＝.

(2)∵Sn＝＝2a1－a1n－1，于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，

若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，∴a1＝－.

17.(12分)

解(1)由acosC＋c＝b得，sinAcosC＋sinC＝sinB，

又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC，

∵sinC≠0，∴cosA＝，又∵0

(2)由正弦定理得：b＝＝sinB，c＝sinC

l＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)＝1＋(sinB＋sin(A＋B))

＝1＋2＝1＋2sin

∵A＝，∴B∈，∴B＋∈，∴sin∈.

故△ABC的周长l的取值范围是(2,3]．

18.(12分) (1)略 (2)

19.(12分)

解：（1）当
时，t＝0； 当
时，
（当
时取等号），

∴
，即t的取值范围是
． 　　　　……4分

（2）当
时，记
则
　…6分

∵
在
上单调递减，在
上单调递增，

且
．

故
. ……………………12分

∴当且仅当
时，
.

故当
时不超标，当
时超标． ……………………14

20.(13分)

解：　(1)由题意知：e＝＝，∴e2＝＝＝，∴a2＝2b2.

又∵圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋＝0相切，∴b＝1，∴a2＝2，

故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则其方程为：y＝k(x－2)．

由消去y得，(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，

Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，∴k2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.

∵点P在椭圆上，∴＋2＝2，

∴16k2＝t2(1＋2t2)．

∵|－|<，∴|x1－x2|<，

∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，

即(1＋k2)[－4·]<，

∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得：k2>，

∴

又16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，

∴

故实数t的取值范围是(－2，－)∪(，2)．

21.(14分)

解：

(Ⅰ）
，解得
.

(Ⅱ）

.

①当
时，
，
，在区间
上，
；在区间
上
，故
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.

②当
时，
， 在区间
和
上，
；在区间
上
，故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
.

③当
时，
， 故
的单调递增区间是
.

④当
时，
， 在区间
和
上，
；在区间
上
，故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
.

(Ⅲ）由已知，在
上有
.

由已知，
，由（Ⅱ）可知，①当
时，
在
上单调递增，

故
，

所以，
，解得
，故
.

②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
.

由
可知
, 所以
，
，

综上所述，
的取值范围为
.