肇庆市中小学教学质量评估

2014届高中毕业班第一次模拟考试

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式： 锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于
且小于4的整数}，则

A．( B．{-2，-1，5，6} C．{0，1，2，3，4} D．{-2，-1，4，5，6}

2．定义域为R的四个函数
，
，
，
中，偶函数的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

3．设
是虚数单位，
，
为复数
的共轭复数，则

A．
B．
C．
D．

4．二项式
的展开式中
的系数是

A．84 B．-84 C．126 D．-126

5．某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm），

则该四棱锥的体积是

A．

B．

C．

D．

6．若如图2所示的程序框图输出的S是30，

则在判断框中M表示的“条件”应该是

A．
B．

C．
D．

7．下列命题中，真命题是

A．
，
；

B．
，
；

C．“
”是“
”的充分不必要条件；

D．设
，
为向量，则“
”是“
”的必要不充分条件

8．设向量
，
，定义一种向量积：
．已知向量
，
，点P在
的图象上运动，点Q在
的图象上运动，且满足
（其中O为坐标原点），则
在区间
上的最大值是

A．4 B．2 C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．函数
的定义域为 ▲ .

10．曲线
在
处的切线方程为 ▲ .

11．已知等比数列
满足
，则
▲ .

12．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组
所表示的平面区域内一动点，则线段|OP|的最小值等于 ▲ .

13．已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为 ▲ .

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为
（
），曲线C在点（2，
）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为 ▲ .

15．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC的外角平分线AD

交外接圆于D，若
，则DC= ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）[来源:学#科#网Z#X#X#K]

已知
向量
，
，
，函数
.

（1）求函数
的表达式；

（2）求
的值；

（3）若
，
，求
的值.

17．（本小题满分13分）

随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：
，2；
，7；
，10；
，x；[90，100]，2. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图4所示，据此解答如下问题.

（1）求样本的人数及x的值；

（2）估计样本的众数，并计算频率分布直

方图中
的矩形的高；

（3）从成绩不低于80分的样本中随机选

取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）

的人数记为
，求
的数学期望.

18．（本小题满分13分）

如图5，在直三棱柱
中，D、E分别

是BC和
的中点，已知AB=AC=AA1=4，(BAC=90(.

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值；

（3）求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前n项和为
，且满足
，
.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

（1）求数列
的通项公式
；

（2）设

为数列{
}的前n项和，求
；

（3）设
，证明：
.

20．（本小题满分14分）

设双曲线C：
（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（
，0），离心率
， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求直线AB方程；

（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

21．（本小题满分14分）

设函数
.

（1）若函数
在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（2）当a=1时，求函数
在区间[t，t+3]上的最大值.

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

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数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

A

B

D

B

C

A





二、填空题

9．
10．
11．16 12．

13．33 14．
15．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（1）∵
，
，
，

∴
，即函数
. （3分）

（2）
（6分）

（3）∵
，

又
，∴
，即
. （7分）

∵
，∴
. （8分）

∴
， （9分）

. （10分）

∴
（11分）

.
（12分）

17．（本小题满分13分）

解：（1）由题意得，分数在
之间的频数为2， 频率为
，（1分）

所以样本人数为
（人） （2分）

的值为
（人）. （4分）

（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为
. （6分）[来源:学科网]

由（1）知分数在
之间的频数为4，频率为
（7分）

所以频率分布直方图中
的矩形的高为
（8分）

（3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为
人，所以
的取值为0，1，2. （9分）

，
，
，（10分）

所以
的分布列为：

0

1[来源:学+科+网Z+X+X+K]

2













（11分）

所以
的数学期望为
（13分）

18．（本小题满分13分）

方法一：

依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

因为
＝4，所以A（0，0，0），

B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），

B1（4，0，4）. （1分）

（1）
，
，
. （2分）

因为
，所以
，即
. （3分）

因为
，所以
，即
. （4分）

又AD、AE(平面AED，且AD∩AE=A，故
⊥平面
. （5分）

（2）由（1）知
为平面AED的一个法向量. （6分）

设平面 B1AE的法向量为
，因为
，
，

所以由
，得
，令y=1，得x=2，z=-2.即
.（7分）

∴
， （8分）

∴二面角
的余弦值为
. （9分）

（3）由
，
，得
，所以AD⊥DE. （10分）

由
，
，得
. （11分）

由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且
， （12分）

所以
. （13分）

方法二：

依题意得，
平面ABC，
，
，

，
.

（1）∵
，D为BC的中点，∴AD⊥BC.

∵B1B⊥平面ABC，AD(平面ABC，∴AD⊥B1B.

BC、B1B(平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.

又B1D(平面B1BCC1，故B1D⊥AD . （2分）

由
，
，
，

得
，所以
. （4分）

又AD、DE(平面AED，且AD∩DE=E，故
⊥平面
. （5分）

（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.

由B1D⊥平面AED，AE(平面AED，得AE ⊥B1D.

又B1D、DM(平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面
B1DM.

因为B1M(平面B1DM，所以B1M⊥AE.

故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角. （7分）

由（1）得，AD⊥平面B1BC
C1，又DE(平面B1BCC1，所以AD⊥DE.

在Rt△AED中，
， （8分）

在Rt△B1DM中，
，

所以
，即二面角B1—AE—D的余弦值为
. （9分）

（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，

所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且
.
（10分）

由（1）得
. （11分）

故
. （13分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）由题意，当
时，有
， （1分）

两式相减得

即
. （2分）

由
，得
.

所以对一切正整数n，有
， （3分）

故
，即
. （4分）

（2）由（1），得
，

所以
① （5分）

①两边同乘以
，得
②
（6分）

①-②，得
， （7分）

所以
， （8分）

故
. （9分）

（3）由（1），得
（12分）

（13分）

. （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）依题意得
，解得a=1.
（1分）

所以
， （2分）

故双曲线C的方程为
. （3分）

（2）设
，则有
.

两式相减得：
， （4分）

由题意得
，
，
，
（5分）

所以
，即
. （6分）

故直线AB的方程为
. （7分）

（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦
，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M. （8分）

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

由
得：A（-1，0），B（3，4）. （9分）

由（1）得直线CD方程：
， （10分）

由
得：C（-3+
，6-
），D（-3-
，6+
）， （11分）

所以CD的中点M（-3，6）. （12分）

因为
，
，

，
， （13分）

所以
，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，
为半径的圆上. （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）∵

∴
， （1分）

令
，解得
（2分）

当x变化时，
，
的变化情况如下表：

















0

—

0







↗

极大值

↘

极小值

↗



故函数
的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）

因此
在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数
在区间
内恰有两个零点，当且仅当
， （5分）

解得
， 所以a的取值范围是（0，
）. （6分）

（2）当a=1时，
. 由（1）可知，函数
的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；
. （7分）

①当t+3<-1，即t<-4时，

因为
在区间[t，t+3]上单调递增，所以
在区间[t，t+3]上的最大值为
；
（9分）

②当
，即
时，

因为
在区间
上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且
，所以
在区间
上的最大值为
.

（10分）

由
，即
时，有[t，t+3](
，-1([t，t+3]，所以
在
上的最大值为
； （11分）

③当t+3>2，即t>-1
时，

由②得
在区间
上的最大值为
. 因为
在区间（1，+∞）上单调递增，所以
，故
在
上的最大值为
. （13分）

综上所述，当a=1时，

在[t，t+3]上的最大值
. （14分）