2014届高三年级第三次四校联考

数学试题（文科）

命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中

【考试时间120分钟，满分150分】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 设全集
,
，
，则
（　　）

A.

B.
C.
D.

2. 设复数
(
是虚数单位)，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

0

1

3

4





0.9

1.9

3.2

4.4



3. 函数
的定义域为(　　)

A.
B.

C.
D.

4. 已知
、
的取值如右表所示： （第4题）

从散点图分析，
与
线性相关，且
，则
( )

A. 0.8 B. 1 C. 1.2 D. 1.5

5. 某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积是（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 执行如图所示的程序框图,若输入
的值为7,则输出
的值是(　　)

A．10 B．16

C．22 D．17

7. 直线
被圆
所截得的最短弦长等于( )

A.
B.

C.
D.

8. 若
，则
的值为(　　)

A．( B．

C． D．

9. 实数
满足
,若
的最大值为13,则实数
( )

A. 2 B.
C.
D. 5

10.设等差数列
和等比数列
首项都是1，公差与公比都是2，则
( )

A.54 B.56 C.58 D.57

11．已知圆锥曲线
的离心率e为方程
的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

12. 定义在
上的函数
满足
且
时，
则
(　　)

A．(1 B． C．1 D．(

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 曲线
在
处的切线方程为 .

14. 已知向量
，
，且
，则
的最小值为 .

15.已知数列
的前
项和为
,
，则
.

16. 将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为 .

三、解答题（本大题共70分）

17. (本小题满分12分)在
中，
，
，
分别为角
，
，
的对边，
，且
.

(1) 求角
；

(2) 若
，求
的面积.

18. (本小题满分12分)某班优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯调查，

（Ⅰ）求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数；

（Ⅱ）若从抽取的6名学生中随机抽取2名学生做进一步数据分析，

（1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2名学生均为中等生的概率.

19. (本小题满分12分)在直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，
是
上一点.

(1)当
，求证：
⊥平面
；

(2)若
,求三棱锥
体积.

20. (本小题满分12分)已知函数
，

（1）若
，求函数
的单调区间； （2）若
，且在定义域内
恒成立，求实数
的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知椭圆
：
（
）的右焦点
，右顶点
,且
．

(1) 求椭圆
的标准方程；

（2）若动直线
：
与椭圆
有且只有一个交点
，且与直线
交于点
,问：是否存在一个定点
,使得
.若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. （本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：

(1)∠BFM＝∠PEF；

(2)PF2＝PD·PC.

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

(1) 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

(2) 设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最小值，并求此时点
的坐标.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

求函数
的最小值;

若
恒成立，求实数
的取值范围.

2014届高三年级第三次四校联考答案

数 学（文科）

1-5 BDDBA, 6-10 CCACD, 11-12 BA

13.
.14.
.15.
.16.

17.(1) 由
.

又由正弦定理，得
，
，

将其代入上式，得
. ------------2分

∵
, ∴
，将其代入上式，得

∴
，

整理得，
. ----- --------4分

∴
.

∵角
是三角形的内角，∴
. --------- ------6分

(2) ∵
，则
--------- ------8分

又
，
--------- ------10分

∴
--------- ------12分

18. （Ⅰ）优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数为2、3、1. ----------4分

（Ⅱ）（1）在抽取到的6名学生中，3名中等生分别记为
，2名优秀生分别记为
，1名学困生记为
，则抽取2名学生的所有可能结果为

共15种. -------------8分

（2）从这6名学生中抽取的2名学生均为中等生（记为事件B）的所有可能结果为
，共3种，所以
-------------12分

19. （1）证明：

∵
，
是
的中点，

∴
⊥
.

在直三棱柱
中，

∵
⊥底面
，
?底面
，∴
⊥
.

∵
∩
＝
，∴
⊥平面
.

∵
?平面
，∴
⊥
. -------------3分

在矩形
中，∵
，
，

∴
≌
.

∴∠
＝∠
.∴∠
＝90°,∴
.

∵
∩
＝
，∴
⊥平面
. -------------6分

（2）
，
，

又
，
， -------------8分

∽
,

.

-------------10分

. -------------12分

20. （1）当
时，
，函数定义域为
．

，由
，得
． -------------3分

时，
，
在
上是增函数．

时，
，
在
上是减函数； -------------6分

（2）由
，得
，
,

，由
，得
，又

恒成立， -------------9分

令
，可得
，

在
上递减，在
上递增．

∴

即
,即
的取值范围是
. ----------12分

21. 由
，

，

椭圆C的标准方程为

. -------------4分

得：
， -------------6分

.

,
,即P
. ---------9分

M
.

又Q
，
，
，