青岛市高三统一质量检测

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合
，则

A．

B．
或

C．
D．

2. 已知向量
,
,
,则“
”
是“
”的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[来源:学科网ZXXK]

3. 右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，样本重量均在
内，其分组为
，
，
，则样本重量落在
内的频数为

A．
B．
C．
D．

4
. 双曲线
的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是

A．
B．
C．
D．

6. 函数
图象的
一条对称轴方程可以为

A．
B．
C．
D．

7. 函数
在区间
内的零点个数是

A．
B．
C．
D．

8. 已知实数
满足约束条件
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

9. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则能得出
的是

A．
，
，
B．
，
，

C．
，
，
D．
，
，

10. 在实数集
中定义一种运算“
”，对任意
，
为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意
，
；

（2）对任意
，
.

则函数
的最小值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 复数
（其中
为虚数单位）的虚部为 ；

12. 从等腰直角
的底边
上任取一点
，则
为锐角三角形的概率为 ；

13. 直线
被圆
截得的弦长为 ；

14. 如图所示是一个四棱锥的三视图，[来源:Zxxk.Com]

则该几何体的体积为 ；

15. 已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

在
中,
分别是角
的对边，且
.

（Ⅰ）求
的大小;

（Ⅱ）若
，
,求
的面积.

17．（本小题满分12分）

某公司销售
、
、
三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计
月份共销售
部手机（具体销售情况见下表）


款手机


款手机


款手机



经济型









豪华型









已知在销售
部手机中，经济型
款手机销售的频率是
.

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在
、
、
三款手机中抽取
部，求在
款手
机中抽取多少部？

（Ⅱ）若
，求
款手机中
经济型比豪华型多的概率.

18．（本小题满分12分）

如图几何体中,四边形
为矩形，
，
，
，
，
为
的中点，
为线段
上的一点，且
.

（Ⅰ）证明：
面
；

（Ⅱ）证明：面

面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积
.

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

19．（本小题满分12分）

已知
是等差数列，公差为
，首项
，前
项和为
.令
,
的前
项和
.数列
满足

，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求
的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
与
的离心率相等. 直线
与曲线
交于
两点（
在
的左侧），与曲线
交于
两点（
在
的左侧）,
为坐标原点，
．

（Ⅰ）当
=
，
时，求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
，且
和
相似，求
的值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
的切线方程；

（Ⅱ）对一切
,
恒成立,求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，试讨论
在
内的极值点的个数.[来源:Z.xx.k.Com]

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数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C A B B C D B A C B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.
14．
15．
或

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由
得：

，………………………………………………………………………4分

，又

………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，…………………………………………………………………8分

又
，

，
……………………………………………………………10分

. ……………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） 因为
，所以
………………………………………2分

所以手机
的总数为：
………………3分

现用分层抽样的方法在在
、
、
三款手机中抽取
部手机，应在

款手机中抽取手机数为：
（部）. …………………………………
…………………………5分

（Ⅱ）设“
款手机中经济型比豪华型多”为事件
，

款手机中经济型、豪华型手机数记为
，

因为
，
，满足事件
的基本事件有：

，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
共
个

事件
包含的基本事件为
，
，
，
，
，
，
共7个

所以

即
款手机中经济型比豪华型多的概率为
……………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连接
交
于
点，则
为
的中点，连接

因为点
为
中点，

所以
为
的中位线

所以
，………………………………………………………………………………2分

面
， [来源:Z|xx|k.Com]

面
，

面
……………………………………4分

（Ⅱ）连接

，
为
的中点

，

，
为矩形

，又
，
为平行四边形

，
为正三角形
，

面

面