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高三数学试题（理） 2014.3

一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分）

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，则 （　　）

A．
B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i

3．“
”是“关于x的不等式
的解集非空”的 （　　）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是
，

则正视图中的
的值是 （　　）

A． 2 B.

C.
D. 3

5. 某程序框图如图2所示，现将输出
值依次记为：

若程序运行中输出的一个数组是

则数组中的
（ ）

A．32 B．24

C．18 D．16

6．下列四个图中，函数
的图象可能是 （　　）

7．已知函数
，则
的大小关系是 （　　）

A．
B．

C．
D．

8．以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；

④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．

其中真命题的个数为 （ ）

A．4 　 B．3 C．2 　　 D．1

9．已知函数
，若a、b、c互不相等，且
，则a＋b＋c的取值范围是 （ ）

A．
（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]

10．已知点
是双曲线
的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆
交于点P，且点P在抛物线
上，则e2 =（ ）

A．
B．
C．

D．

二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分）

11．
的展开式中的常数项为a，则直线
与曲线
围成图形的面积为 . [来源:Z*xx*k.Com]

12．设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，则m的取值范围是 .

13．在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知
,且
，

则b= .

14．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量
在A点处与圆O

相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则
·
的

取值范围是 .

15．函数
的定义域为A,若
且
时总有
,则称

为单函数.例如,函数
是单函数.下列命题:

①函数
是单函数; ②函数
是单函数;

③若
为单函数,
且
,则
;

④若函数
在定义域内某个区间D上具有单调性,则
一定是单函数.

其中真命题是 (写出所有真命题的编号).

三、解答题（本大题共6小题，满分75分）

16．（本小题满分12分）

已知函数
（
）的最小正周期为
．

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数
的图象；若
在
上至少含有10个零点，求b的最小值．

17. （本小题满分12分）

如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，

CE∥BG，且
，平面ABCD⊥平面BCEG，

BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（Ⅰ）求证：AG
平面BDE;

（Ⅱ）求：二面角G
DE
B的余弦值.

18.（本小题满分12分）

为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；

④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）

已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5 ，租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人
所付租车费之和为随机变量
，求
的分布列和数学期望E
[来源:学.科.网]

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,且对任意
的
,都有

.

（Ⅰ）若{bn }的首项为4,公比为2,求数列{an+bn}的前n项和Sn;

（Ⅱ）若
，试探究:数列{bn}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它
项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

20.（本小题满分13分）

已知函数
，其中
，
是自然对数的底数.

（Ⅰ）求函数
的零点；

（Ⅱ）若对任意
均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间

[1，4]外，求a的取值范围；

（Ⅲ）已知
，且函数
在R上是单调函数，探究函数
的单调性.

21．（本小题满分14分）

如图；.已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时圆T的方程;

（Ⅲ）设点P是椭圆C 上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与
轴交于点R，S，O为坐标原点. 试问；是否存在使
最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由.

高三数学试题（理）参考答案

一、选择题：DCCCA CBCCD

二、填空题：

11．
； 12．
； 13．4 14．
15．③

三、解答题

16．解：
（Ⅰ）由题意得：

, …………………………………………2分

由周期为
，得
，得
， ……………………………4分

函数的单调增区间为：
，

整理得
,

所以函数
的单调增区间是
.………………………6分

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移单位，得到
的图象，所以
,…8分

令
，得
或
,………………………………10分

所以在
上恰
好有两个零点，

若
在
上有10个
零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为
. ……………………………………12分

17.（本小题满分12分）

解：由平面
，平面

,

平面BCEG,

，

由平面
，
知

， .………2分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得

……………………………….3分

（Ⅰ）设平面BDE的法向量为
，则

即
，
，

平面BDE的一个法向量为
………………………………………………..5分

，
，

，∴AG∥平面BDE. ……………………………………………….7分

（Ⅱ）由（1）知

设平面EDG的法向量为
，则
即

平面ED
G的一个法向量为
……………………………………………..9分

又平面BDE的一个法向量为
，[来源:学科网ZXXK]

设二面角
的大小为
，则
，

二面角
的余弦值为
. …………………..12分

18．解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，且
,

分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，且
. 2分

由题知，A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立， 3分

记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A1B1+
A2B2+A3B3，

所以P(M)=P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2)+ P(A3)P(B3)

=0.4×0.5＋0.5×0.3＋0.1×0.2=0.2＋0.15＋0.02=0.37; 6分

(Ⅱ)
据题意
的可能取值为：0,1,2,3,4 , 7分

;

;

;

;

. 10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4



P

0.2

0.37

0.28

0.13

0.02




的数学期望
,………………………11分

答：甲、乙两人所付租车费相同的概率为0.37，
的数学期望E
=1.4. …………12分

19．解:（Ⅰ）因为
,所以当
时,

,

两式相减,得
,

而当n=1时,
,适合上式,从而
,……………………3分

又因为{bn}是首项为4,
公比为2的等比数列,即
,所以
，…………4分

从而数列{an+bn}的前
项和
；………6分

（Ⅱ） 因为
，
,所以
，……………………. 8分

假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它
项
的和,即
,从而
,易知
,(*) ……………9分

又
,

所以
,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在． …………………………………12分

20．解：（I）
，

令g(x)=0, 有ex－1=0，即x=0；或 x2－2x－a=0；
,

①当
时，
函数
有1个零点
； ……………………1分

②当
时，
函数
有2个零点
；…………………2分

③当
时，
函数
有两个零点
；……………………3分

④当
时，
函数
有三个零点：

………………………………………………4分

（II）
，…5分

设
，
的图像是开口向下的抛物线，

由题意对任意

有两个不等实数根
，

且
则对任意

,

即
,有

，…………………………7分

又任意

关于
递增,
,

故
，所以
.

所以
的取值范围是
……………………………………………………………9分

（III）由(2)知, 存在

，又函数
在R上是单调函数，故函数
在R上是单调减函数, ………………………………………………10分

对
来说

即
………………11分

所以对于函数
来说

由
知
………………………………………
………………………12分

即对任意

故函数
在R上是减函数. …………………………………………………………13分

21．解：（I）由题意知
解之得；
，由
得b=1，

故椭圆C方程为
；.…………………3分

（II）点M与点N关于
轴对称，设
,

不妨 设
, 由于点M在椭圆C上，

,

由已知
,[来源:Zxxk.Com]

,……………………………………………………..6分

由于
故当
时，
取得最小值为
,

当
时
，故
又点M在圆T上，代入圆的方程得
,故圆T的方程为：
；……………………………………………………………..8分

（III）假设存在满足条件的点P,设
，则直线MP的方程为：

令
，得
，同理
,[来源:Zxxk.Com]

故
;…………………………………………………..10分

又点M与点P在椭圆上，故
,

得
,