绝密★启用前

揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足：
，则

A．1 B．2 C．
D．5

2．设
函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，则

A.
B.
C.
D.

3．设平面
、

，直线
、
，
，则“
” 是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是

A.
B.

C.
D.

5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的

体积为

A.
B.
C.
D.

6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值

相等的x值个数
为

A.1 B.2 C.3 D.4

7．设点
是函数
图象上的任意一点，

点
(
)，则|
的最小值为

A.
B.
C.
D.
.

8．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为
，用
表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有
；②存在集合A，使得
；③用
表示空集，若
则
；④若
则
；⑤若
则
其中正确的命题个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．若点
在函数
的图象上，则tan
的值

为 ．

10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机

动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如

图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速

度为60 km/h～120 km/h，则该时段内过往的这100辆机

动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x值为 ．

11．已知向量
、
满足
，且
，则
与
的夹角为 ．

12．已知首项为正数的等差数列
中，
．则当
取最大值时，数列
的公差

．

13．从
中任取一个数x，从
中任取一个数y，则使
的概率为 ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线

（
为参数且
）与曲线

(
是参数且
)，则直线
与曲线
的交点坐标为 .

15.（几何证明选讲选做题）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB

延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥
AB，垂足为E，

且E是OB的中点，则BC的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的定义域和最小正周期；

（2）若
求
的值．

17. （本小题满分12分）

图(5)是某市2月1日至14日的空气质量
指数趋势图，空气质量指数(AQI)小
于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

（1）求此人到达当日空
气质量为重度污染的概率;

（2）设
是此人停留期间空气重度污染的天数，求
的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图(6)，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，

过A作AE垂直SB交SB于E，作AH垂直SD交SD于H，平面

AEH交SC于K，且AB=1，SA=2．

（1）设点P是SA上任一点，试求
的最小值；

（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；

（3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知正项数列
满足:
，数列
的前
项和为
，且满足
，

．

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

20．（本小题满分14分）

如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E

上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，

且
，|BC|＝2|AC|．

（1）求椭圆E的方程；

（2）在椭圆E上是否存点Q，使得
？

若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由；

（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作
的两条切线，切点分别为

M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
为定值.

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
且
时，证明：
；

（2）若对
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，证明：
．

揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：DCBD DCCB

解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为

6．由框图知，x与y的函数关系为
，由
得

若
，则
或
，若
，则
，若
，显然
，故满足题意的x值有0,1,3，故选C.

7．如图示，点P在半圆C上，点Q在直线
上，过圆心

C作直线的垂线，垂足为A，则
,故选C.

8．
由
的定义可知①、④正确，又若
则
，设
则
所以②错误，⑤正确，故选B。

二、填空题：9．
；10．15、0.0175；11．
；12．-3；13．
；14．（1，3）; 15.
.

解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有
（辆），x的值=
.

11．由
得

，
．

12．设数列
的公差为
，由
得
，则
，因
故
，当且仅当
，即
“=”成立，这时
取得最大值，由
得
，所以
。

13．如右图，使
是图中阴影部分，故所求的概率

14．把直线
的参数方程化为普通方程得
，把曲线
的参数方程化
为普通方程得
，由方程组
解得交点坐标为（1，3）【或将曲线
的参数方程化为普通方程得
后将
代入解得
，进而得点坐标为（1，3）】

15．
DE为OB的中垂线且OD=OB，

为等边三角形，
，

三、解答题：

16．解：（1）由
解得
，

所以函数
的定义域为
-----------------------------------2分

--4分

的最小正周期
------------------------------------------------6分

（2）解法1：由
---------------------8分

且
，
----------------------------------------------10分

∴
--------------------------------12分

解法2：由
得

，

代入
得

，------------8分

∴
，又
，
------------------------------10分

∴
--------------------------------12分

17．解：设
表示事件“此人于2月
日到达该市”（
=1,2，…，12）.

依题意知,
,且
.---------------------------------------2分

（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则
,

所以
.

即此人到达当日空
气质量重度污染概率为
.---------------------------------------5分

（2）由题意可知，
的所有可能取值为0,1,2，3且----------------------------------6分

P(
=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=
,----------------------------------7分

P(
=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =
,-----------------------------------------8分

P(
=3)=P(A1∪A12)=
P(A1)+P(A12) =
,-----------------------------------------9分

P(
=1)=1－P(
=0)－P(
=2)－P(
=3)=
,------------------------10分

(或P(
=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=
)

0

1

2

3



P











所以
的分布列为： ---------------------------------11分

故
的期望
．-------------------------------------------12分

18．（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，则当B、P、H三点共线时，
取最小值，这时，
的最小值即线段BH的长，---------------1分

设
,则
，

在
中，∵