2014届高三年级第三次四校联考

数学试题（理科）

命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中

【考试时间120分钟，满分150分】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.设U=R，A={x(y=x},B={y(y=－x2}，则A∩(CUB)=( )

A.( B.R C. {x(x>0} D.{0}

2.设复数
(
是虚数单位)，则
( )

A．
B．
C．
D．

3.下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

4.执行如图所示的程序框图，则输出
的值为( )

A.3 B.－6 C.10 D.－15

5.实数
满足
,若
的最大值为13,则实数
( ).

A. 2 B.
C.
D. 5

6.等比数列
满足

,且
，则当
时，

( )

A.
B .
C.
D.

7.已知函数f(x)=sin(ωx+()(ω>0, (((<)的部分图象如图所示，则y=f(x+)取得最小值时x的集合为（ ）

A. {x(x= k((, k(Z } B. {x(x= k((, k(Z }

C. {x(x=2k(-, k(Z } D. {x(x=2k((, k(Z }

8.右图可能是下列哪个函数的图象（ ）

A.y=2x－x2－1 B. y =

C.y=(x2－2x)ex D. y=

9.向边长分别为
的三角形区域内随机投一点
，则该点
与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）

A．
B.
C.
D.

10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）

A．12种 B.16种 C.24种 D. 36种

11. 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，

PA＝2AB＝6，则该球的体积为(　)

A．16π B．32π C．48π D．64π

12.已知双曲线
，过其左焦点
作
轴的垂线，交双曲线于
两点，若双曲线的右顶点在以
为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于 .

14. 圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为 .

15.已知
,
有且仅有一个零点时，则
的取值范围是 .

16.若数列
与
满足
，且
,设数列
的前
项和为
，则
= .

三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 已知
ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

cosA＝
，sinB＝
cosC．

(1)求tanC的值；

(2)若a＝
，求
ABC的面积．

18. （本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为
，且每题正确完成与否互不影响.

（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；

（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？

19. (本小题满分12分) 如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°, 四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成

二面角的平面角为θ（θ
90°），试求cosθ的取值范围．

20. (本小题满分12分)抛物线C1：
的焦点与椭圆C2：
的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且
的面积为
.

(1)求椭圆C2的标准方程；

（2）过A点作直线
交C1于C,D两点，连接OC,OD分别交C2于E,F两点，记
，
的面积分别为
,
.问是否存在上述直线
使得
，若存在，求直线
的方程；若不存在，请说明理由.

21. (本小题满分12分)设函数

（1）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；

（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x)-1

请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆
外一点
作一条直线与圆
交于
两点，且
，作直线
与圆
相切于点
，连结
交
于点
，已知圆
的半径为2，

（1）求
的长；

（2）求证：
.

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（1）求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2）设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最小值，并求此时点
的坐标.

24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

(1)求函数
的最小值;

(2)若
恒成立，求实数a的取值范围.

2014届高三年级第三次四校联考

数学（理科）答案

选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

D

A

D

C

A

B

C

A

D

B

A



填空题

13. 0 14. 3

15．b≥1或b=或b≤0 16. 560

三、解答题

17．解：(1)∵cosA＝
∴sinA＝
，……………2分

又
cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA

＝
cosC＋
sinC． ……………5分

整理得：tanC＝
． ……………6分

(2) 由（1）知sinC＝
，cosC＝

由正弦定理知：
，故
． ……………9分

又∵sinB＝
cosC=
……………10分

∴
ABC的面积为：S＝
=
． ……………12分

18.解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为
，则
可能取值为1,2,3

……………3分

所以，考生甲正确完成题目数的分布列为

1

2

3













所以
……………5分

（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为

因为
，其分布列为：

所以
……………6分

又因为

……………8分

所以

又因为
，
……………10分

所以

①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；

②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，

因此，可以判断甲的实验操作能力强. ……………12分

19.（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.

∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.

又因为BC?平面FBC， 所以 平面ACFE⊥平面FBC， .............5分

(2)解：由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ(0≤λ≤
),则C(0，0，0)，A(
，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，

∴=(－
，1，0)，=(λ，-1，1)，

设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量，由,得

取x=1,则n1=(1,
,
),

∵n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,

∴cos(===...........10分

∵0≤λ≤
,∴当λ=0时，cosθ有最小值
，

当λ=
时，cosθ有最大值
.

∴cosθ∈［
］..............12分

20.解：（1）∵
∴焦点
∴
即
……………1分

又∵
∴
……………2分

代入抛物线方程得
.又B点在椭圆上得
，

∴椭圆C2的标准方程为
. ……………4分

（2）设直线
的方程为
，由
得

设
，所以
……………6分

又因为

直线
的斜率为
，故直线
的方程为
，

由
得
，同理

所以

则
， ……………10分

所以
，

所以
，故不存在直线
使得
……………12分

21.解：(1) 由题意知：，f((x)== , ……………2分

令h(x)=(x-1)ex+1,则h((x)=x ex>0,

∴h(x)在（0，+∞）上是增函数， ……………3分

又h(0)=0，∴h(x)>0,则f((x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. ……………5分

(2) f(x)-1=,不等式f(x)-1

令G(x)= ex-(a+1)x-1, G((x)=ex-(a+1), ……………7分

由G((x)=0得：x=ln(a+1),

当0

当x>ln(a+1)时，G((x)>0,

∴当x=ln(a+1)时，G(x)min=a-(a+1)ln(a+1), ……………9分

令((a)=- ln(a+1),(a≥0) (((a)=-