肇庆市中小学教学质量评估

2014届高中毕业班第一次模拟考试

数 学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，
为柱体的高. 锥体的体积公式
，其中S为锥体底面积，
为锥体
高. 一组数据
，
，…，
的方差
，其中
表示这组数据的平均数.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若全集
，集合
，
，则
[来源:学科网]

A．{2} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4，5}

2．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3．设
为虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于

A．第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

4．下列函数中，在区间
上为减函数的是

A．
B．

C．
D．

5．执行如图1所示的程序框图，若输入
的值为4，

则输出
的值是

A．

B．

C．
D．

6．某几何体的三视图如图2所示（单位：cm），

则该几何体的体积是

A．

B．

C．

D．

7．已知圆
的圆心是直线
与
轴的交点，

且圆
与直线
相切，则圆
的方程是

A．
B．

C．
D．

8．在锐角
中，AB=3，AC=4，其面积
，则BC=

A．
B．
或
C．
D．

9．已知
为自然对数的底数，设函数
，则

A．
是
的极小值点 B．
是
的极小值点

C．
是
的极大值点 D．
是
的极大值点

10．设向量
，
，定义一种向量积：
．已知向量
，
，点P在
的图象上运动，点Q在
的图象上运动，且满足
（其中O为坐标原点），则
在区间
上的最大值是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．已知
是递增的等差数列，
，
为其前
项和，若
成等比数列，则
▲ .

12．若曲线
的某一切线与直线
平行，则切线方程为 ▲ .

13．已知变量
满足约束条件
，若
的最大值为
，则实数
▲ .

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的参数方程为
（其中
为参数，且
），则曲线
的极坐标方程为 ▲ .

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在
中，
，

，
，
、
为垂足，若AE=4，BE=1，

则AC= ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在(ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5 ，
.

（1） 求
和
的值；

（2） 设函数
，求
的值.

17．（本小题满分13分）

已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.

（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？

据此写出所有被抽出学生的号码；

（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的

茎叶图如图4所示，求该样本的方差；

（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名

成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和

不小于154分的概率．[来源:Z#xx#k.Com]

18．（本小题满分13分）

如图5，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，

点V是圆O所在平面外一点，
是AC的中点，已知
，

.

（1）求证：OD//平面VBC；

（2）求证：AC⊥平面VOD；

（3）求棱锥
的体积.

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，对一切正整数
，点
都在函数

的图象上.

（1）求
，
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）若
，求证数列
的前
项和
．

20．（本小题满分14
分）

在平面直角坐标系
中，点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4，其中C1：
，C2：
. 设点P的轨迹为
．

（1）求C的方程；

（2）设直线
与C交于A，B两点．问k为何值时


？此时
的值是多少？

21．（本小题满分14分）

设函数
.

（1）若函数
在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（2）当a=1时，求函数
在区间[t，t+3]上的最大值.

肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

B

C

D

A

D

B

D





二、填空题[来源:学&科&网]

11．70 12．
13．
或
（对1个得3分，对2个得5分） 14．
15．10

三、解答题

16．（本小题满分12分）[来源:学§科§网Z§X§X§K]

解：（1）由正弦定理
，得
. （3分）

∵A、B是锐角，∴
， （4分）

， （5分）

由
，得
（6分）

（7分）

（8分）

（2）由（1）知
，

∴
（11分）

（12分）

17．（本小题满分13分）

解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. （2分）

因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. （4分）

（2）这10名学生的平均成绩为：

×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， （6分）

故样本方差为：
（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分）

（3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：

（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （10分）

其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，8
1），（78，79），（78，81)，（79，81）. （12分）

故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：
（13分）

18．（本小题满分13分）

证明：（1）∵ O、D分别是AB和AC的中点，∴OD//BC . （1分）

又
面VBC，
面VBC，∴OD//平面VBC. （3分）

（2）∵VA=VB，O为AB中点，∴
. （4分）

连接
，在
和
中，
,

∴
≌(VOC ，∴
=(VOC=90(， ∴
. （5分）

∵
,
平面ABC,

平面ABC, ∴VO⊥平面ABC. （6分）

∵
平面ABC，∴
.
（7分）

又∵
，
是
的中点，∴
. （8分）

∵VO(平面VOD，VD(平面VOD，
，∴ AC
平面DOV. （9分）

（3）由（2）知
是棱锥
的高，且
. （10分）

又∵点C是弧的中点，∴
，且
，

∴三角形
的
面积
， （11分）

∴棱锥
的体积为
， （12分）

故棱锥
的体积为
. （13分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）∵点
都在函数
的图象上，

∴
， （1分）

∴
， （2分）

又
，∴
. （4分）

（2）由（1）知，
，

当
时，
（6分）

由（1）知，
满足上式， （7分）

所以数列
的通项公式为
. （8分）

（3）由（2）得

（11分）

（12分）

（13分）

. （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为
. （1分）

设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，长半轴长为2的椭圆． （2分）

它的短半轴长
， （3分）

故曲线C的方程为
． （4分）

（2）设
，其坐标满足

消去y并整理得
， （5分）

∵
，
，∴
，

故
． （6分）

又
（7分）

于是
． （8分）

令
，得
. （9分）

因为
，

所以当
时，有
，即
. （10分）

当
时，
，
． （11分
）

， （12分）

而

， （13分）

所以
．
（14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）∵

∴
， （1分）

令
，解得
（2分）

当x变化时，
，
的变化情况如下表：

















0

—

0







↗

极大值

↘

极小值

↗



故函数
的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）

因此
在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数
在区间
内恰有两个零点，当且仅当
， （5分）

解得
， 所以a的取值范围是（0，
）. （6分）

（2）当a=1时，
. 由（1）可知，函数
的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；
. （7分）

①当t+3<-1，即t<-4时，

因为
在区间[t，t+3]上单调递增，所以
在区间[t，t+3]上的最大值为
； （9分）

②当
，即
时，

因为
在区间
上单调递增，在区
间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且
，所以
在区间
上的最大值为
.

（10分）

由
，即
时，有[t，t+3](
，-1([t，t+3]，所以
在
上的最大值为
； （11分）

③
当t+3>2，即t>-1时，

由②得
在区间
上的最大值
为
. 因为
在区间（1，+∞）上单调递增，所以
，故
在
上的最大值为
.
（13分）

综上所述，当a=1时，

在[t，t+3]上的最大值
. （14分）