高三自评试卷

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的
答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

１．复数
（
是虚数单位）的虚部为

A．
B．
C．
D．

２．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．某中学高中一年级有
人，高中二年级有
人，高中三年级有
人，现从中抽

取一个容量为
人的样本，则高中二年级被抽取的人数为

A．
B．
C．
D．

4. 曲线
在
处的切线方程为

A．
B．
C．
D．

5．设
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若
则
B．若
则

C．若
则
D．若
则

6．设
其中实数
满足
，若
的最大值为
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

7．函数

的部分图象

如图所示，若
，且
，则

A．
　 　 B．
C．
　　 D．

8．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施
个程序，其中程序
只能出现在第一或最后一步，程序
和
在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有

A．
种 B．
种 C．
种　 D．
种

9. 函数
的图象大致是

10．如图，从点
发出的光线，沿平行于抛物线
的

对称轴方向射向此抛物线上的点
，经抛物线反射后，穿过焦点射

向抛物线上的点
，再经抛物线反射后射向直线
上

的点
，经直线反射后又回到点
，则
等于

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）[来源:学§科§网Z§X§X§K]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知向量
，
，

若
，则实数
______;

12．圆
的圆心

到直线
的距离
;

13．如图是某算法的程序框图，若任意输入

中的实数
，则输出的
大于
的

概率
为 ;

14．已知
均为正实数，且
，

则
的最小值为__________；

15. 如果对定义在
上的函数
，对任意两个不相等的实数
，都有
，则称函数
为“
函数”.给出

下列函数①
;②
;③
;

④
.以上函数是“
函数”的所有序号为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知向量
，
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）在
中,
分别是角
的对边,
,
,

若
，求
的大小.

17．（本小题
满分12分）

袋中装有大
小相同的黑球和白球共
个，从中任取
个都是白球的概率为
．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取
个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用
表示取球终止时取球的总次数．

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量
的概率分布及数学期望
．

18．（本小题满分12分）[来源:学_科_网Z_X_X_K]

如图，四棱锥
中,
面
，

、
分别为
、
的中点，
，
.

（Ⅰ）证明：
∥面
；

（Ⅱ）求面
与面
所成锐角的余弦值.

19．（本小题满分12分）

在数列

中，其前
项和为
，满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
（
为正整数）,求数列
的前
项和
.

20．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设
，试问函数
在
上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

设
,
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
.[来源:Zxxk.Com]

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
，设
是椭圆
上的一点，过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围；

（Ⅲ）作直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.

高三自评试卷

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C A D A D B D C D B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共2
5分．

11.
12.
13.

14．
15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解: （Ⅰ）

……………………4分

所以
递减区间是
.……………………5分

（Ⅱ）由
和
得:
……………6分

若
，而

又
,所以

因为
，所以

若
，同理可得：
，显然不符合题意，舍去. …9分

所以

………
……………10分

由正弦定理得:
……………………12分

17．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设袋中原有
个白球，则从
个球中任取
个球都是白球的概率为
…2分

由题意知
，化简得
．

解得
或
（舍去）……………………5分

故袋中原有白球的个数为
……………………6分

（Ⅱ）由题意，
的可能取值为
.

；
；

；
.

所以取球次数
的概率分布列为：

























……………10分

 所求数学期望为
…………………12分

18．（本小题满分12分）

(Ⅰ)因为
、
分别为
、
的中点，

所以
∥
……………………2分

因为
面
，
面

所以
∥面
……………………4分

（Ⅱ）因为

所以

又因为
为
的中点

所
以

所以

得
，即
……………6分

因为
，所以
[来源:Zxxk.Com]

分别以
为
轴建立坐标系

所以

则
………8分

设
、
分别是面
与面
的法向量

则
，令

又
，令
……………
11分

所以
……………12分

19．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)由题设得:
,所以

所以

……………2分

当
时，
,数列
是
为首项、公差为
的等差数列

故
.……………5分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知: