高三自评试卷

数学 (文科)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

１．复数
（
是虚数单位）的虚部为

A．
B．
C．
D．

２．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．某中学高中一年级有
人，高中二年级有
人，高中三年级有
人，现从中抽取一个容量为
人的样本，则高中二年级被抽取的人数为

A．
B．
C．
D．

４．命题“
使得
”的否定是

A．
均有
　　　　　
B．
均有
　

C．
使得
　　　　　D．
均有

５．曲线
在
处的切线方程为

A．
B．
C．
D．

６．抛物线
的焦点坐标为

A．
B．
C．
D．

７．函数

的部分图

象如图所示，为了得到
的图象，只
需将
的图象

A．向右平移
个单位　 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 　　 D．向左平移
个单位

８．设
其中实数
满足
，若
的最大值为
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

9．现有四个函数：①
②
③
④
的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．①④③②　 　　B．④①②③　 　C. ①④②③． 　　D．③④②①

10．若
(
)是
所在的平面内的点，且
.

给出下列说法：①
；②
的最小值一定是
；

③点
、
在一条直线上．其中正确的个数是

A．
个. B．
个. C．
个. D．
个.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知
，则
的最小值_________;

12. 圆
的圆心

到直线
的距离
;

13．已知
，则
;

14. 如图是某算法的程序框图，若任意输入

中的实数
，则输出的
大于
的

概率为 ;

15. 如果对定义在
上的函数
，对任意两个不相等的实数
，都有
，则称函数
为“
函数”.给出

下列函数①
;②
;③
;④
.以上

函数
是“
函数”的所有序号为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知向量
，设函数
,若函数
的图象与
的图象关于坐标原点对称.

（Ⅰ）求函数
在区间
上的最大值,并求出此时
的取值；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，若
，
，
，求边
的长．

17．（本小题满分12分）

在某高校自主招生
考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为
五个等级. 某考
场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有
人.

（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为
的人数；

（Ⅱ）若等级
分别对应
分,
分,
分,
分,
分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为
. 在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为
的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中,
面
，

、
分别为
、
的中点，
.

（Ⅰ）证明：

∥面
；

（Ⅱ）证明：

19．（本小题满分12分）

在数列

中，其前
项和为
，满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
.

[来源:Zxxk.Com]

20．（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）设函数
若函数
在
上恰有两个不同零点，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知点
在椭圆
:
上，以
为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点
，且

，其中
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
，设
是椭圆
上的一点，过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求直线
的方程;

（Ⅲ）作直线
与椭圆
:
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上
一点,且满足
,求实数
的值.

高三自主检测

数学（文科）参考答案及评分标准[来源:学科网]

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C A D B A C B B C B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
．

11.
12.
13.
14．
15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
由题意得：

所以
……………………3分

因为
，所以

所以当
即
时，

函数
在区间
上的最大值为
.……………………6分

（Ⅱ）由
得：

又因为
，解得：
或
……………………8分

由题意知
，

所以

则
或

故所求边
的长为
或
. ……………………12分

17．（本小题满分12分）

解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人……………………2分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
……………………4分

（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

……………………7分[来源:学,科,网]

（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}
，{乙，
丁}，{丙，丁}
,有6个基本事件

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个
，则
. ……………………12分

18．（本小题满分12分）

(Ⅰ)因为
、
分别为
、
的中点，

所以
∥
……………………2分

因为
面
，
面

所以
∥面
……………………5分

(Ⅱ)因为
面

所以
……………………7分

因为
，所以
[来源:学科网ZXXK]

又因为
为
的中点

所以

所以

得
，即
……………………10分

因为
，所以
面

所以
……………………12分

19．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)由题设得:
,所以

所以

……………2分

当
时，
,数列
是
为首项、公差为
的等差数列

故
.……………5分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知:

所以

……………………8分

两式相减得：

.

所以
.……………………12分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）
的定义域是
，
，得
…
…………………3分

时，
，
时，
，

所以
在
处取得极小值
……………………6分

（Ⅱ）

所以
，令
得

所以
在
递减，在
递增 ……………………9分