本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知
是实数集，
，则
( )

A．
B．
C.
D．

2.在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位
于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.

=（ ）

A．4 B．2 C．
D．

4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）

①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；

③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一
排的人进行调查是分层抽样法；

④已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7

⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。

A．2 B．3 C．4 D．5

5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S
=4（a1+a3+a5+…+a2n-1）, a1a2a3=27,则a6=（ ）

A.27 B.81 C. 243 D.729

7. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设锐角
的三内角
、
、
所对边的边长分别为
、
、
，

且
，
,
则
的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9. 在
所在的平面内，点
满足


，
，且对于任意实数
，恒有

， 则 （ ）

A．
B．

C．
D．

10.在平面直角坐标系中，记抛物线
与x轴所围成的平面区域为
，该抛物线与直线

y＝
(k＞0)所围成的平面区域为
，向区域
内随机抛掷一点
，若点
落在区域
内的概率为
，则k的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，
，若在区间
内，函数
与
轴有3个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13.设球的半径为时间
的函数
，若球的体积以均匀速度
增长，则球
的表面积的增长速度与球半径的乘积为

14. 若
的二项展开式中，所有项的二项式系数和为
，则该展开式中的常数项为

15. 在△ABC中，边
角
，过
作
，且
，则
．

16. 椭 圆中有如下结论：椭 圆
上斜率为1的 弦 的 中点在直线
上，类比上述结论：双曲线
上斜率为1的 弦 的 中点在直线 上

三、解答题（本题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡相应位置）

17.（本题满分12分）如图，在
中，
边上的中线
长为3，且
，
．

（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
边的长．

[来源:Zxxk.Com]

19. （本题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力。为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75]



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

6[来源:学科网]

9

6

3

4



（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；

（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选
取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

20. （本题满分12分）我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．

求抛物线
方程；

当“蝴蝶形图案”的面积最小时求
的大小.

21. （本题满分12分）已知函数
.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
满足：

①对任意的
，
，当
时，有
成立；

②对

恒成立.求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，
按本选考题的首题进行评分。

22.(本题满分10分)如图，在正ΔABC中，点D、E分别在边BC,AC上,且
，AD，BE相交于点P.

求证：(I)四点P、D、C、E共 圆；(II)AP
CP.

23．（本题满分10分）已知直线

为参数), 曲线

（
为参数）.

（Ⅰ）设
与
相交于
两点,求
；

（Ⅱ）若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.

24. （本题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求实数a的值；（5分）

（2）在（1）的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围．（5分）

2013—2014学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷（理科）

参考答案

DBDBC CDACA CC

13.1 14.
15. 15 16.

17.

--------6分

（Ⅱ）在
中,由正弦定理,得
,即
,解得
…8分

故
,从而在
中,由余弦定理,得

，所以
……………………12分

18. ．解法一：（Ⅰ）设
，连接
,

分别是
、
的中点，则
，…1分

已知
平面
，
平面
，所以平面
平面
，

又
，
为
的中点，则
，

而平面
，

所以
平面
，

所以
平面
，

又
平面
，所以
； ……3分

在
中，
，
；

又
，所以
平面
，

又
平面
，所以

. ……6分

（Ⅱ）在平面
内过点
作
交
的延长线于
，连接
，
，

因为

平面
，所以
平面
，

平面

平面
，所以

平面
，

平面
，所以


；

在
中，
，
是
中点，故
；

所以
平面
，则

．

所以
是二面角
的平面角．

……10分

设
，

而
，

，则
，

所以二面角
的余弦值为
．
……12分

解法二：

因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
，

又
，
是
的中点，则
，且平面
，

所以
平面
． ……2分

如图，以O为原点，以
分别为
轴
、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系.

…4分

，
，所以
．……6分

（Ⅱ）
，
，

设平面
的法向量为
，

则

令
，得
． ……8分

又
，
，

所以平面
的法向量
， ……10分

，

所以二面角
的余弦值为
． ……12分

（Ⅱ）
的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分

……10分

所以
的分布列是：























……11分

所以
的数学期望
． ……12分

21.

当
时，

22.证明：（I）在
中，由
知：

≌
，………………2分

即
.

所以四点
共圆；………………5分

（II）如图，连结
.

在
中，
,
,

由正弦定理知
.………………8分

由四点
共圆知，
,

所以
………………10分

23．解.（I）
的普通方程为
的普通方程为

联立方程组


解得
与
的交点为
,
,

则
.

（II）
的参数方程为
为参数).故点
的坐标是
,从而点
到直线
的距离是

,

由此当
时,
取得最小值,且最小值为
.

24.解：（Ⅰ）由
得
，∴
，即
，

∴
，∴
。┈┈┈┈5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,令
，

则，

∴
的最小值为4，故实数
的取值范围是
。┈┈┈┈┈10分

[来源:学§科§网]