本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1、集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义
，则
的子集个数为( )

A．7 B．12 C．32 D．64

2、已知
，复数的实部为，虚部为1，则
的取值范围是( )

A．(1，5) B．(1，3) C．
D．

3、在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力(　　)

A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．独立性检验 D．概率

4、若函数
又
，且
的最小值为
的正数为（ ）

A.
B.
C.
D.

5、定义在R上的连续函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f (x2)的值 (　　)

A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负

6、如图给出的是计算
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）

A.
B.

C.
D.

7、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8、 设向量a,b,c满足
，则
的最大值等于（ ）

A．2 B．
C．
D．1

9、过轴正半轴上一点
,作圆
的两条切线,切点分别为
,若
,则
的最小值为 （　　）

A．1 B．
C．2 D．3

10、过双曲线
左焦点
，倾斜角为
的直线交双曲线右支于点，若线段
的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.3 D.

11、点
是曲线
上的一个动点，曲线
在点处的切线与轴、轴分别交于
两点，点
是坐标原点. 给出三个命题：①
；②
的周长有最小值
；③曲线
上存在两点
，使得
为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）

A.１ B.２ 　　 　C.３ 　 D.０

12、设
分别是椭圆
的左右焦点,若在其右准线上存在点,使
为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是 （ 　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=
，则cosA－cosC的值为 ．

14、如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .

15、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为 。

16、对于实数a和b，定义运算“﹡”：
，设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________。

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17、（本题12分）

设数列
满足:
是整数,且
是关于x的方程
的根.

(1)若
且n≥2时,
求数列{an}的前100项和S100;

(2)若
且
求数列
的通项公式.

18、（本题12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABDE为梯形，AE//BD，AE平面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE，M为AB的中点.

（I）求证：CMDE；

（II）求锐二面角
的余弦值.

19、（本题12分）

衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：

（I）求获得参赛资格的人数；

（II）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

（III）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为
，

求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.

20、（本题12分）

已知抛物线
的焦点为，抛物线上一点的横坐标为

，过点作抛物线
的切线
交轴于点，交轴于点
，交直线
于点
，当
时，
．

（1）求证：
为等腰三角形，并求抛物线
的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线
上，过点作抛物线
的切线
交直线
于点，交直线
于点
，求
面积的最小值，并求取到最小值时的
值．

21、（本题12分）

已知函数f（x）＝
，g（x）＝elnx。

（I）设函数F（x）＝f（x）－g（x），求F（x）的单调区间；

（II）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx＋m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx＋m，

对x∈（0，＋∞）恒成立，则称直线y＝kx＋m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，

试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由。

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22、(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB为圆
的直径，P为圆
外一点，过P点作PCAB于C，交圆
于D点，PA交圆
于E点，BE交PC于F点．

(I)求证： P=ABE；

(Ⅱ)求证：CD2=CF·CP．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为
（为参数），曲线C2的极坐标方程为：
，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

(I)求|AB|的值；

(Ⅱ)求点M(-1，2)到A、B两点的距离之积．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

(I)求不等式
≤6的解集；

(Ⅱ)若关于的不等式
>恒成立，求实数的取值范围．

2013～2014学年度下学期一调考试

高三年级数学（理科）答案

一、选择题

DCCBA AAABD CC

二、填空题

13、
14、
15、
16.

三、解答题

17、

18、

19、解：（I）获得参赛资格的人数
2分

（II）平均成绩：

5分

（III）设甲答对每一道题的概率为.P

则

的分布列为

 3

 4

 5














12分

由
，

同理
，……………………………………………………6分

所以面积
……① ……8分

设
的方程为
，则

由
，得
代入①得：

，使面积最小，则

得到
…………② 令
，

②得
，
，

所以当
时
单调递减；当

单调递增，

所以当
时，
取到最小值为
，此时
，
，

所以
，即
。……………………………………………………12分

21. 解析：（I）由于函数f（x）＝
，g（x）＝elnx，

因此，F（x）＝f（x）－g（x）＝
－elnx，

则
＝
＝
，

当0＜x＜
时，
＜0，所以F（x）在（0，
）上是减函数；

当x＞
时，
＞0，所以F（x）在（
，＋）上是增函数；

因此，函数F（x）的单调减区间是（0，
），单调增区间是（
，＋）。…………………4分

（II）由（I）可知，当x＝
时，F（x）取得最小值F（
）＝0，

则f（x）与g（x）的图象在x＝
处有公共点（
，
）。

假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（
，
）。…………………………….6分

故设其方程为：
，即
，

由f（x）≥
对x∈R恒成立， 则
对x∈R恒成立，

所以，
≤0成立，

因此k＝
，“分界线“的方程为：
…………………………………..10分

下面证明g（x）≤
对x∈（0，＋∞）恒成立，

设G（x）＝
，则
，

所以当0＜x＜
时，
，当x＞
时，
＜0，

当x＝
时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤
对x∈（0，＋∞）恒成立，

故所求“分界线“的方程为：
。…………………………………………..12分

22、解：证明：（Ⅰ）
，所以在
中，
在
中,
所以
……………………………….5分

（Ⅱ）在
中，
，由①得
∽
,∴
,

∴

,所以CD2=CF·CP。………………….10分

23. 解：(Ⅰ)

,则
的参数方程为：
为参数），代入
得
，

.

(Ⅱ)
. ………………………………………….10分

24.不等式的解集为

（II）
.

………………………………………………………………………..10分