2014年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)

高三数学（理科答案）

一、选择题：

1-5.CDCBD 6-10. DACBD 11-12BA

二、填空题：

13. ____-160_________

14. -  .

15． 9

16． 5235 .

三、解答题： （解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）

17. 解：由已知得
，

，
，∴
，

在
，由正弦定理得
，…………2分

∴
；……………………………………………4分

，
，∴
，

在
，由正弦定理得，
，……………6分

∴
；……………………………………8分

在
，
，由余弦定理得

……………10分

故两小岛间的距离为
海里.

…………………………………12分

18. 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有
，
；………………………………………………2分

.……………………………………3分

该商场每日应准备纪念品的数量大约为
件.……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率

……………………5分

故4人购物获得纪念品的人数
服从二项分布

,

,

的分布列为

0

1

2

3

4



















……………………11分（此部分可按
的取值，细化为1分，1分的给分）

数学期望为

或由
.…………………………………………12分

19.解：（Ⅰ）不妨设
=1，又
，∴在△ABC中，

，∴
，

则
=
，…………………………………1分

所以
,又
,∴
,

且
也为等腰三角形.……………………………………………3分

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴
，

∵
面
，∴
，∴
，…………5分

所以AB⊥平面MNQ，

又MN平面MNQ

∴AB⊥MN…………………………………6分

（法二）
，则
,以A为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得
，
，
,

,…………………………………4分

∴
,

则
，所以
．…………6分

（ⅡⅠ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，可知

，
，面
的法向量可取为
，

…………………………………8分

设面
的法向量为
，
，
，

则
即
可取
，………………10分

∴
=
，

故二面角
的余弦值为
．…………………12分

20．解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为
，根据题意得

，……………………2分

化简得
. …………………………………4分

（Ⅱ）解法一：设直线
的方程为
，

由
消去得

设
，则
，且
……………6分

以点为切点的切线的斜率为
，其切线方程为

即

同理过点
的切线的方程为

设两条切线的交点为
在直线
上，

，解得
，即

则：
，即
…………………………………8分

代入

到直线
的距离为
………………………10分

当
时，
最小，其最小值为，此时点的坐标为
. …………12分

解法二：设
在直线
上，点
在抛物线
上，

则以点为切点的切线的斜率为
，其切线方程为

即

同理以点
为切点的方程为
………………………………6分

设两条切线的均过点
，则
，

点
的坐标均满足方程

，即直线
的方程为：
……………8分

代入抛物线方程
消去可得：

到直线
的距离为
…………………………10分

当
时，
最小，其最小值为，此时点的坐标为
.…………12分

21． 解：（1）
．

①当
时，
对
恒成立，即
在
为单调递增函数；

又
，即
对
恒成立．…………………………1分

②当
时，令
，得
．

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增．

若
对任意
恒成立，则只需
…………………………3分

又
，
，即
在区间
上单调递减；又注意到
。故
在区间
上恒成立.即
时,满足
的不存在．

综上：
…………………………………5分

（2）当
时，
，
，易得
，

即
对任意
恒成立。………………………………7分

取
，有
，即
．

………………………………………9分

相加即得：
．

即
．

故

即
，
时，恒有
.

…………………………12分

请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 解：（1）因为
为圆
一条直径，所以
，………………………2分

又
，

故、、、
四点在以
为直径的圆上

所以，、、、
四点共圆.……………………………4分

（2）因为
与圆相切于点，由切割线定理得

,即
，

，………………………………6分

所以

又
,

则
, 得
………………………………8分

连接
,由（1）可知
为
的外接圆直径

,故
的外接圆半径为
……………10分

23.解：（1）由
，可得

所以曲线
的直角坐标方程为
，…………………………2分

标准方程为

曲线
的极坐标方程化为参数方程为

…………………………5分

（2）当
时，直线
的方程为
，

化成普通方程为
…………………………………7分

由
，解得
或
…………………………………9分

所以直线
与曲线
交点的极坐标分别为
，
;
,
.………………………………………10分

24．解：（1）当
时，不等式
可化为

①当
时，不等式为
，解得
，故
；

②当
时，不等式为
，解得
，故
；

③当
时，不等式为
，解得
，故
；

……………4分

综上原不等式的解集为
………………………………………5分

（2）因为
的解集包含

不等式可化为
，………………………………………7分

解得
，

由已知得
，……………………………………9分

解得

所以的取值范围是
.…………………………………10分