江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考

高三数学（理）试卷

命题人：景德镇一中 江 宁 赣州三中 明小青 余江一中 官增文

审题人：景德镇一中 曹永泉

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足
（为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3．已知
是两条不同直线,
是三个不同平面,则下列命题正确的是

A．若
,则
B．若
,则∥

C．若
,则
D．若
,则∥

4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是

A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同

B．你与你的同桌的样本平均数一定相同

C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同

D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同

5．下列函数中，与函数
的奇偶性、单调性均相同的是

A．
B．

C．
D．

6．已知直线
与圆
交于、两点，
是原点，C是圆上一点，若

，则的值为

A． B．
C． D．

7．设
，则

A． B．2 C．3 D．4

8．如图，函数
（其中
，
，
）

与坐标轴的三个交点、
、满足
，
，

为
的中点，
， 则的值为

A．
B．

C．8 D．16

9．给出下列命题，其中真命题的个数是

①存在
，使得
成立;

②对于任意的三个平面向量
、
、
，总有
成立;

③相关系数(
)，
值越大，变量之间的线性相关程度越高.

A．0 B．1 C．2 D．3

10．如图，已知正方体
的棱长是1，点是

对角线
上一动点，记
（
）,过点

平行于平面
的截面将正方体分成两部分，其中点

所在的部分的体积为
，则函数
的图像大致为

A B

C D

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．已知
，则
的展开式中的常数项是__________．

12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有__________个．

13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．

14．过双曲线

的左焦点

，作倾斜角为
的直线
交该双曲线右支于点，若
，且
，则双曲线的离心率为__________．

三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．

15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
与曲线
的一个交点在极轴上，则的值为__________．

15（2）．（不等式选做题）若关于的不等式
的解集不为空集，则实数的取值范围是__________．

四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

设
的内角
所对的边分别为
，且有
．

（1）求
的值；

（2）若
，
，为
上一点．且
,求
的长．

17．（本小题满分12分）

江西某品牌豆腐食品是经过、、
三道工序加工而成的，、、
工序的产品合格率分别为
、
、
．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．

（1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；

（2）生产一袋豆腐食品，设
为三道加工工序中产品合格的工序数，求
的分布列和数学期望．

18．（本题满分12分）

如图，三棱锥
中，
，

，
，点在平面
内的射影

恰为
的重心
，M为侧棱
上一动点．

（1）求证：平面
平面
；

（2）当M为
的中点时，求直线
与平面

所成角的正弦值．

19．（本题满分12分）

已知数列
前项和为
，向量
与
，且
，

（1）求数列
的通项公式；

（2）求
的前项和
，不等式
对任意的正整数恒成立，求的取值范围．

20．（本题满分13分）

设定圆
，动圆
过点
且与圆
相切，记动圆
圆心
的轨迹为
.

（1）求轨迹
的方程；

（2）已知
，过定点
的动直线
交轨迹
于、
两点，
的外心为
．

若直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证：
为定值．

21．（本题满分14分）

已知函数
（、
为常数），在
时取得极值．

（1）求实数
的取值范围；

（2）当
时，关于的方程
有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）数列
满足
（
且
），
，数列
的前项和为
，

求证：
（
,是自然对数的底）．

江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考

高三数学（理）试卷 参考答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

D

D

B

C

C

B

B

D



二．填空题

11．160 12．3 13．28 14．

三．选做题

15（1）．
15（2）．

四．解答题

16解：（1）∵
∴

∴

∵
∴
∴
…………………………….6分

（2）∵
，
∴
∴

∴
∴
……………………12分

17解：（1）产品为废品的概率为：

……………………………6分

（2）由题意可得

故
， ………………………………9分

得到ξ的分布列如下：

0

1

2

3

















……………………………………………12分

18解：（1）取
中点，连接
、
，

∵
平面
，∴

等腰
中，
为重心，∴

∴
平面

∴平面
平面
……………6分

（2）
中，
∴

∵
平面
∴

∴
∴

过
作
的平行线为轴，
为轴，
为轴

建立空间直角坐标系

∴

设直线
与平面
所成角为

设平面
的法向量为

∴

∴
……………12分

19解：（1）∵
∴
∴

∴
……………4分

（2）

……………8分

∴
不等式
对任意的正整数恒成立

∴
∴
……………10分

∴
∴
∴
∴
……12分

20解：（1）∵点
在圆
内 ∴圆
内切于圆

∴

∴点
的轨迹
.的方程为
……………5分

（2）由
存在 ∴ 直线
斜率不为0

设直线
为
设点
，

直线
的中垂线方程为：

即
∵
∴ 即

即
即

同理可得直线
的中垂线方程为：
………7分