2013—2014学年度南昌市高三第一次模拟测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

B

A

D

C

D

B

A



二、选做题：本题共5分．

11． (1) B； 11． (2) A

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

12．
； 13．
； 14．
； 15．

四、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：（1）∵
与
共线，∴
……………………2分

则
，∴
的周期
,………………………………4分

当
时，
………………………………………………6分

（2）∵
，∴
，∴
……………7分

∵
，∴
．由正弦定理，得
得，

，即
，∴
………………9分

由余弦定理
得
，

即
，∴
………………………………………………………11分

∴
…………………………………………12分

17．解：(1)设抽查的人数为,前三小组的频率分别

为
、
、
，则

解得
…………………………………………………………………………4分

因为
，所以
……………………………………………………6分

(2)由(1)可得,一个男生体重超过55公斤的概率为

，…………………………………………………8分

所以

所以
，
，1，2，3 …………………………………10分

随机变量
的分布列为（可不写）：

0

1

2

3















则

(或：
) ………………………………………………………………12分

18．解：（1）
，当
时，
……1分

…………………3分

所以
……………………………………5分

，所以数列
是等差数列

∴
……………………………………………………………………………………6分

（2）由（1）
，∴
…………………………7分
………………………………………………8分

………………………………………………9分

∴

∴
…………………………………………12分

19． 解：（1）设
为BC中点，连PM，DM 依题意，

∵P、M分别为AB、BC的中点，∴

∴
，…………………………3分

∴四边形PMDE为平行四边形，∴

又
平面DBC，
平面DBC，

∴
平面DBC…………………………5分

（2）以点
为原点，直线
所在直线分别为
轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设
，则
、

、
、
、
………………………………………6分

所以
、
、
…………………………7分

设平面
的法向量为
，

则由
，得
，…………9分

令
，则
，∴

，

∴直线
与平面
所成角的正弦值为
．……………………………………12分

20． 解：（1）椭圆
的右焦点为
，∴
，椭圆
的左焦点为

可得
，解得
，

∴
∴椭圆
的标准方程为
……………………4分

（2）①当直线斜率不存在时，
，
，

所以
．…………………………………………………… 6分

②当直线斜率存在时，设直线
的方程为
，且
，
．

由
得
，

，
， …………………………………………………8分

=
=
．…10分

由
消去y，并整理得：
，……………………………………11分

设
，则

=
，所以

综上所述，
为定值． ……………………………………………………………… 13分

21． 解：(1)∵
，∴
，

此时
，

依题意
，所以
…………………………………………3分

(2)由（1）知：

当
时，设
，则

设
，则
，
在
上是增函数

因为
，
，

所以，存在
，使
………………………………………………7分，

时，
，
，即
在
上为减函数；

同理
在
上为增函数 ,从而
的最小值为

所以
，
的最大值为
………………………………………………10分．

(3)由（2）知，当
时，
，

所以
，即
，

所以

……………………………………………………………………………………14分