九校联考理科数学参考答案及评分标准(不同解法应酌请给分)

选择题：CDDAB AACCB

填空题：11.9 12.

13. 3 14.

选做题：①
②

解答题：

16.解：⑴在
中，

∠
………4分

⑵由正弦定理知
………6分

……10分

由于
，故仅当
时，
取得最大值3. ………12分

17.解：⑴
次传球，传球的方法共有
种，
次传球结束时，球恰好回到甲手中的传球方法为
种，故所求概率为
………5分

⑵易知
的所有可能取值为
………6分

， ………9分

的分布列为

0

1

2













………10分

因此，
. ………12分

18. 解：设菱形对角线交于点
，易知
且

又
.由勾股定理知，

又

平面
………3分

建立如图空间直角坐标系，
，

，
，

，
………5分

⑴显然，
，平面
的法向量

，由
∥
，知
平面
………8分

⑵设面
的法向量为
由

取
，得
………10分

所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
. ………12分

19. 解：⑴由
得
，

∴对一切
，可知
是首项为，公比为的等比数列. ………5分

（通过归纳猜想，使用数学归纳法证明的，亦应给分）

（2）由（1）知
………6分

证一：

………10分

……12分

证二：∵
≥
（仅当
时等号成立），故此，
≤
……10分

从而，
≤

＜
……12分

20.解：⑴设
，由题意知
且
，得

故所求点的轨迹方程为
（＞
） ………5分

⑵设
、
，将
代入
得

∴
………7分

而以线段
为直径的圆的方程为
，

即
，

得
， ………10分

整理成关于的方程

由于以上关于的方程有无数解，故
，

由以上方程构成的方程组有唯一解
.

由此可知，以线段
为直径的圆必经过定点
. ………13分

21.解：（1）易知
，

所求的切线方程为
，即
……4分

（2）易知
，

有两个不同的极值点

在
有两个不同的根

则
且
解得
……6分

在
递增，
递减，
递增

的极小值

又

则
，
在
递减

，故
……9分

（3）先证明：当
时，

即证：

只需证：

事实上，设

易得
，
在
内递增

即原式成立 ……12分

同理可以证明当
时，

综上当
时，
. ……14分