江西省八所重点中学2014届高三下学期3月联考

数学(理)试题

一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1．若集合
，集合
，则集合
的元素的个数为 （ ）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

2．设
为虚数单位，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（ ）

4．已知
，
，
，若
，
，
三向量共面，则实数
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知数列
是等比数列，且
，则
的值

为（ ）

A .
B .
C .
D .

6．从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（ ）

A. 480 B. 481 C. 482 D. 483

7．下图是一个算法的流程图，最后输出的
( )

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

8．二项式
展开式中的第三项与第五项的系数之比为
，其中
为虚数单位，则展开式的常数项为（ ）

A .
B .
C .
D .

9．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为双曲线的离心率，
是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为
，过
作直线
的垂线，垂足为
，则线段
的长度为（ ）

A．
B.
C．
D．

10．右图是某果园的平面图，实线部分
游客观赏道路，其中曲线部分
是以
为直径的半圆上的一段弧，点
为圆心，
是以
为斜边的等腰直角三角形，其中
千米，
(
),若游客在路线
上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”
是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映
与
的函数关系的是（ ）

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.

11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
的直线与曲线
（
为参数）相交于
两点,则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

11．（2）（不等式选做题）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A .
B .
C .
D .

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.

12．设随机变量
服从正态分布
，若
,则
__________.

13．设实数
满足不等式组
,则
的取值范围是__________.

14．已知
，若
，则
__________.

15．已知一正整数的数阵如下图所示(从上至下第1行是1，第2行是3、2，......)，则数字2014是从上至下

第__________行中的从左至右第__________个数．

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知向量
,.
.

（1）求函数
的最小正周期； （2）求函数
在区间
上的值域.

17．（本小题满分12分）

已知A箱装有编号为
的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），B箱装有编号为
的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用
分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.

（1）求概率
； （2）设随机变量
，求
的分布列及数学期望.

18．（本小题满分12分）已知数列
中，
，当
时，
.

(1) 求数列
的通项公式.

(2) 设
,数列
前
项的和为
,求证:
.

19．（本小题满分12分）如图1，直角梯形
中，
，
分别为边
和
上的点，且
，
．将四边形
沿
折起成如图2的位置，使
．

（1）求证：

平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐角的余弦值.

20．（本小题满分13分）如图，线段
为半圆
所在圆的直径，
为半圆圆心，且
，
为线段
的中点，已知
，曲线
过
点，动点
在曲线
上运动且保持
的值不变

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线
的方程；

(2)过
点的直线
与曲线
相交于不同的两点
，且
在
之间，设
，求
的取值范围

21．（本小题满分14分） 已知函数

(1) 若
,求
在点
处的切线方程.

（2） 令
，求证：在区间
上，
存在唯一极值点.

(3) 令
,定义数列
:
.当
且

时,求证:对于任意的
,恒有
.



数列

（2）如图以
中点为原点，
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，

所以
的中点坐标为
因为
，所以

易知
是平面
的一个法向量，

设平面
的一个法向量为

由

令
则
，
，

将x1=
x2代入得

,所以原命题得证. …… 8分

(3)
,
,

,