2013—2014学年第二学期上海市五校联合教学调研

数学（文科）试卷

考生注意：

1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。

2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的规定位置准确填写、填涂学校、姓名、准考证号。

3、考试结束只交答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）

1．已知线性方程组的增广矩阵为
，若该线性方程组解为
，则实数
___．

2．已知
为虚数单位，复数
的虚部是______.

3．若
为奇函数，则最小正数
的值为 .

4．已知
的最小值为
，则二项式
展开式中
项的

系数为 .

5．已知x，y满足则的取值范围是________．

6．ΔABC中，顶点A在椭圆
的一个焦点上，边BC是过原点的弦，则ΔABC面积的最大值 .

7．设P为函数
的图象上的一个最高点,Q为函数
的图象上

一个最低点,则|
PQ|最小值是 .

8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与

左视图均为半径是
的圆,则这个几何体的

表面积是 .

9. 过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}

分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，

则该直线的方程为 .

10. 某海军编队将进行一次编队配置科学试验，要求2艘不同的攻击型核潜艇一前一后，3艘不同的驱逐舰和3艘不同的护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 .

11. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，
，

则λ＋μ的值为 .

12. 定义:如果函数
在区间
上存在
,满足

,则称
是函数
在区间
上的一个均值点.已知函数

在区间
上存在均值点,则实数
的取值范围是____.

13.设
和
是抛物线
上的两个动点，在
和
处的抛物线切线相互垂直，已知由
及抛物线的顶点
所成的三
角形重心的轨迹也是一抛物线，记为
．对
重复以上过程，又得一抛物线
，以此类推．设如此得到抛物线的序列为
，若抛物线
的方程为
，经专家计算得，

则
.

14.对于实数a和b，定义运算“﹡”：
，

设
，且关于x的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是_________________.

二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）

15. “
”是“函数
有零点”的 （　　）

A．充要条件 ；B. 必要非充分条件；C．充分非必要条件；D. 既不充分也不必要条件；

16.
将函数y=2x的图像按向量
平移后得到函数y=2x+6的图像,给出以下四个命题:

①
的坐标可以是(-3.0)； ②
的坐标可以是(0,6)；

③
的坐标可以是(-3,0)或(0,6)；④
的坐标可以有无数种情况；

其中真命题的个数是 （　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

17. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2

的距离之和等于5，则这样的直线 (　　)

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条 D．不存在

18. 设a＞0，b＞0 (　　)

A．若
，则a＞b；

B．
，则a＜b；

C．若
，则a＞b；

D．若
，则a＜b；

三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）

19. (12分)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1 ,

（Ⅰ）证明:

平面CAB1

（Ⅱ）已知AB=2，BC=
，求三棱锥
的体积。

解：

20.（14分）在
中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量
,
，满足

（1）求角C的大小；

（2）若
成等差数列，且
，求边
c的长。

解：

21.（14分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点
为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为
米，圆心角为
（弧度）．

（1）求
关于

的函数关系式
；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为
，求
关于
的函数关系式，并求出
为何值时，
取得最大值？

解：

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

22.（16分）如图，已知椭圆
：
经过点
，以椭圆
的左顶点
为 圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值；

（3）设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，问
是否为定值？若是请求出定值，不是则说明理由。

解：

23.（18分）在正数数列
中，
为
的前n项和，若点
在函数
的图象上，其中c为正常数，且c≠1。

（1）求数列
的通项公式；

（2）当
的时候，在数列
的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列
：
两项之间插入n个数，使这
个数构成等差数列，求
的值；

（3）设数列
满足
，当
时候，在数列
中，是

否存在连续的三项
，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条

件的正整数
的值；若不存在，说明理由。

解：

2013—2014学年上海市五校联合教学调研数学答案（文科）

一、填空题

1．已知线性方程组的增广矩阵为
，若该线性方程组解为
，则实数
_
_.

2．已知
为虚数单位，复数
的虚部是__2____.

3．若
为奇函数，则最小正数
的值为
.

4．已知
的最小值为
，则二项式
展开式中
项的系数

为 15 .

5．已知x，y满足则的取值范围是____．

【解析】
由题意绘出可行性区域如图所示，

求的取值范围，即求可行域内任一点与点(4，2)连线的斜率k的取值范围，

由图像可得k∈.

6．ΔABC中，顶点A在椭圆
的一个焦点上，边BC是过原点的弦，则ΔABC面积的最大值
.

7．设P为函数
的图象上的一个最高点,Q为函数
的图象上的一个最低点,则|
PQ|最小值是
.

8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是
的圆,则这个几何体的表面积是
.



【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去
半球的球.其中两个半圆的面积为
.
个球的表面积为
,所以这个几何体的表面积是
.

9. 过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x＋y－2＝0 .

10. 某海军编队将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 1 296 .

解析：核潜艇排列数为P，6艘舰艇任意排列的排列数为P，同侧均是同种舰艇的排列数为PP×2，则舰艇分配方案的方法数为P(P－PP×2)＝1 29
6.

11.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，
，则

的值为  .

解析：∵M为边BC上任意一点，∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．

∴N为AM中点，∴＝＝x＋y＝λ＋
μ.

∴λ＋μ＝(x＋y)＝.

12.定义:如果函数
在区间
上存在
,满足

,则称
是函数
在区间
上的一个均值点.已知函数
在区间
上存在均值点,则实数
的取值范围是_(0,2)___.

13.设
和
是抛物线
上的两个动点，在
和
处的抛物线切线相互垂直，已知由
及抛物线的顶点
所成的三
角形重心的轨迹也是一抛物线，记为
．对
重复以上过程，又得一抛物线
，以此类推．设如此得到抛物线的序列为
，若抛物线
的方程为
，经专家计算得，

则
-1 .

14. 对于实数a和b，定义运算“﹡”：
， 第14题图

设
，且关于x的方程为
恰有三个互不相等的实

数根
，则
的取值范围是
.

【解析】由新定义得
，

所以可以画出草图，若方程
有三个根，则
，且当
时方程可化为
，易知
；当
时方程可化为
，可解得
，所以
，又易知当
时
有最小值，所以
，即
.

二、选择题

15. “
”是“函数
有零点”的 （　C　）

A．充要条件； B. 必要非充分条件；C．充分非必要条件； D. 既不充分也不必要条件；

16.
将函数y=2x的图像按向量
平移后得到函数y=2x+6的图像,给出以下四个命题:

①
的坐标可以是(-3.0)； ②
的坐标可以是(0,6)；

③
的坐标可以是(-3,0)或(0,6)；④
的坐标可以有无数种情况；

其中真命题的个数是 （　D　）

A．1 B．2 C．3 D．4

17. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2

的距离之和等于5，则这样的直线 (　D　)

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条 D．不存在

【解析】 由题意知A，B点到x＝－1的距离和为3，由抛物线定义可知|AB|＝3，我们知道抛物线中过焦点的弦长最小值为2p＝4，而|AB|＝3，显然这样的弦不存在．

18. 设a＞0，b＞0 ( A　)

A．若
，则a＞b；B．
，则a＜b；

C．若
，则a＞b；D．若
，则a＜b；

【解析】本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，故A正确，B错误．其余选项用同样方法排除．

三、解答题：

19. （12分）直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=AA1 ，
=

（Ⅰ）证明:

平面CAB1

（Ⅱ）已知AB=2，BC=
，求三棱锥
的体积

【解析】（Ⅰ）
是直三棱柱，
=
，[来源:，

平面
,故
．

又

，
四边形
是正方形，

，又
，

平面
（6分）

（Ⅱ）

，
，

．

由（Ⅰ）知，

平面
，

S△
·
=
．（6分）

20.（14分）在
中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量
,
，满足

（1）求角C的大小；

（2）若
成等差数列，且
，求边
c的长

解：(1)由
可得
…………2分

即
，又

得
而
………4分
即C=
…………..6分

(2)

成等差数列
由正弦定理可得2c=a+b………….
①

可得
而C=
，
…… ②

由余弦定理可得
…………③

由①②③式可得c=6………12分

21、(本小题满分14分)

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇