江西省上饶市2014届高三第二次模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

第Ⅰ卷

1．答题前，考生务必将自己的学校、座位号、姓名填写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2犅铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束后，监考员将答题卷一并收回．

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）

1．复数
在复平面中所对应的点到原点的距离为

A．
B．
C．1 D．

3．给出两个命题：p：｜x｜＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中的真命题是

A．p且q B．p或q　 C．┓p且q D．┓p或q

4．设α，β，γ是三个不重合的平面，犾是直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，犾⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；　③若犾上有两点到α的距离相等，则l∥α；　

④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号

A．②④ B．①④ C．②③ D．①②

5．某小卖部销售一品牌饮料的零售价狓（元／瓶）与销量狔（瓶）的关系统计如下：

已知x，y的关系符合线性回归方程y＝bx＋a．其中b＝－20．a＝
.当单价为4．2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为

A．20 B．22 C．24 D．26

6．
展开式中常数项为

A．60 B．－60 C．250 D．－250

7．设等差数列｛
｝的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则
中最大的项为

9．有红．蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为

A．80 B．84 C．96 D．104

10．菱形ABCD的边长为
，∠犃ABC＝60°，沿对角线AC折成如

图所示的四面体，二面角B－AC－D为60°，M为AC的中点，

P在线段DM上，记DP＝x，PA＋PB＝y，则函数y＝f（x）的

图像大致为

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．在数列｛
为计算这个数列

前10项的和S，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），

则图中判断框（1）处合适的语句是 ．

12．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸

（单位：Cｍ），可得这个几何体的体积是 ．

15．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
的交点的极坐标为 （0≤θ＜2π）．

（2）（不等式选讲题）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式｜a＋b｜＋｜a－b｜≥｜a｜｜x－1｜恒成立，则实数狓的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）．

16．（本小题满分12分）设a∈R，函数f（x）＝cos（asinx－cosx）＋
满足

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
，求f（A）的取值范围．

17．（本小题满分12分）2014年2月21日《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策。为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0．05．

（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，按每组3人分成两组进行深入交流，求第一组中农村居民人数ξ的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）已知数列｛
｝的前n项和为
，对一切正整数n，点
都在函数f（x）＝x2＋2x的图像上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．

（1）求数列｛an｝的通项公式；

19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都是

2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H．

（1）求证：AE⊥平面A1BD；

（2）求二面角D－BA1－A的余弦值；

（3）求点B1到平面A1BD1的距离．

21．（本小题满分14分）已知函数

（1）当a＝2时，求函数
上的最大值；

（2）令
在区间（0，3）上不单调，求a的取值范围；

上饶市2014届第二次高考模拟考试数学（理科）

试卷答案及评分标准

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

D

A

D

A

D

A

C

D



二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.
14.
15. （1）
（2）

三、解答题：共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 解：（1）

由
得：
，∴
……………2分

∴

由
得：
，

∴
的单调递减区间为：
…………………6分

（2）∵
，由余弦定理得：
，

即
，由正弦定理得：

，

，
，∴
……………9分

∵△
锐角三角形，∴
，

∴
的取值范围为
． …………………12分

17. 解：（1）∵ 抽到持“反对”态度的人的概率为0.05，

∴
=0.05，解得x=60． ……………………2分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． …… 4分

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人． ………… 6分

（2）由（I）知持“反对”态度的一共有180人，

∴ 在所抽取的6人中，农村居民为
=4人，城镇居民为
=2人，

于是第一组农村居民人数ξ=1，2，3， …………………… 8分

P(ξ=1)=
，P(ξ=2)=
，P(ξ=3)=
，

即ξ的分布列为：

ξ

1

2

3



P









?? ………… 10分

∴ Eξ=1×
+2×
+3×
=2． ………………………… 12分

18. 解：（1）
点
都在函数
的图像上，

,

当
时，

当ｎ＝1时，
满足上式，所以数列
的通项公式为
…….4分

（2）由
求导可得

过点
的切线的斜率为
，
..

8分

是公差是4的倍数，

又
，
,解得ｍ＝27.

所以
，设等差数列的公差为
，则

，所以
的通项公式为
……12分

19. （1）（1）证明：建立如图所示，

∵

∴
即AE⊥A1D， AE⊥BD

∴AE⊥面A1BD ……………………3分

（2）由
∴取

设面AA1B的法向量为

，

由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为
……………………8分

（3）
，平面A1BD的法向量取

则B1到平面A1BD的距离d=
……………………12分

20. 解：（1）设点
，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故R的方程为
…………………… 4分

（2）设点
由（I）可知

……………………6分

①当直线
轴时

点
在
轴上任何一点处都能使得
成立

②当直线MN不与
轴垂直时，设直线

由
得

…………………… 9分

要使
，只需
成立……………………10分

即
即

即
故
,故所求的点Q的坐标为
时

使
成立.……………………13分

21. (本小题满分14分)

解（1）

函数
在[
,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以
． ……4分

（2）因为
，所以
，