吉林市普通高中2013—2014学年度高中毕业班上学期期末复习检测

数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形

码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非

选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
和
,则
=

A. [1,5) B.
C.
D.

2. 设复数
，若
成立，则点
在

A. 第一象限 　 B. 第二象限

C. 第三象限
　　 D. 第四象限

3. 读右侧程序框图，该程序运行后输出的A值为

A.

B.

C.

D.

4. 设
为数列
的前
项和，已知
，若
则

A. 512 B.
16 C. 64 D. 256

5. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小于
，则周末去踢球，否则去图书馆.则小波周末去图书馆的概率是

A.
B.
C.
D.

6. 已知
是双曲线E的两个焦点，以线段
为直径的圆与双曲线的一个公共点是M，若
则双曲线E的离心率是

A.

B.
C.
D.

7. 某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是

A.

B.

C.

D.

8. 设函数
，则下列结论正确的是

A.
的图像关于直线
对称

B.
的图像关于点
对称

C. 把
的图像向左平移
个单位，得到一个偶函数的图像

D.
的最小正周期为
，且在
上为
增函数

9. 已知曲线C上任意一点到两定点
、
的距离之和是4，且曲

线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点，则
的面积的最小值为

A. 4 B.
C. 8 D. 2

10. 已知函数

，若对于任意的正数
，函数
都是其定义域上的增函数，则函数
可能是

A.
B.

C.
D.

11. 如图，边长为2的正方形
中，点
分别是边
的中点，将

,
,
分别沿
折起，使
三点重合于点
,

若四面体
的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为

A.

B.

C.

D.

12. 若关于x的方程
有五个互不相等的实根，则
的取值

范围是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13. 设变量x,y满足约束条件
，则目标函数
的最小值为 .[来源:学,科,网]

14. 已知直角
中,
为斜边
的中点，则向量
在

上的投影 为 .

15. 曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积是 .

16. 下列说法正确的
有 (只填序号)

① 函数
的图象与直线
的交点个数为0或1;

② 设函数
, 若当
时，总有
，

则
；[来源:学科网]

③
时，函数
的值域为
；

④ 与函数
的图象关于点
对称的图象对应的函数为
.

三. 解答题

17. (本小题满分10分)

设
的内角
所对的边是
，且

（I） 求
;

（II）求
的值.

18. (本小题满分12分)

已知数列
与
，若
且对任意正整数
满足
数列
的前
项和
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和

19. (本小题满分12分)

某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单
位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关。据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年的X值为：[来源:学科网ZXXK]

140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160,

220, 140, 160.

（I）完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

70

110

140

160

200

220



频率















 （II） 求近20年降雨量的中位数
和平均降雨量;

（III）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率.

20. (本小题满分12分)

如图1，在
中，
,且
∥
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的正弦值.

21. (本小题满分12分)

已知抛物线
:
的准线为
，焦点为
，
的圆心在
轴的正半轴上，且与
轴相切，过原点作倾斜角为
的直线
，交
于点
，交
于另一点
，且

（I） 求
和抛物线
的方程;

（II） 过
上的动点
作
的切线，切点为
、
，求当坐标原点
到直线
的距离取得最大值时，四边形
的面积.

22. (本小题满分12分)

已知函数
，

( I ) 若函数
在其定义域内为单调函数，求
的取值范围;

( II ) 若函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，且

，（
，
）

证明：对任意的正整数n,当
时，有
.

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案与评分标准

1-12 . BACDB BBCDA BD

13. -9 14.
15 .
16.(1)(2)(4)

17 .（1）由正弦定理
得

（2）由余弦定理
得

18答案：1）因为对任意正整数n满足
[来源:Zxxk.Com]

所以
是公差为2的等差数列 又因为
所以
（2分）

当
时，
； （3分）

当
时，
（4分）

对
不成立。

所以，数列
的通项公式:
(5分)

2)
由1）知当
时
(6分)

当
时
（8分）

所以，

(10分)

当n=1时仍成立。 (11分)

所以
对任意正整数n成立。 (12分)

19答案：1）
，
，
(3分)

2）中位数是160 (4分)

平均降雨量
(6分)

3）由已知可设

因为，X=70时Y=460所以，B=425[来源:学&科&网Z&X&X&K]

所以，
(9分)

当Y
520时,X
190

所以，发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥 (11分)

所以，发电量低于520（万千瓦时）的概率
(12分)

法二：P（“发电量不低于520万千瓦时”）

=P（Y
520）=P（X
190） (9分)

=P（X=200）+P（X=220）=
(11分)

故今年六月份该水利发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率为：
(12分)

20答案：

（1）
DE
，DE//BC，
BC
(2分)

又
，AD

(4分)

(2)以D为原点，分别以
为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系D-xyz (5分)

在直角梯形CDEB中，过E作EF
BC，EF=2，BF=1，BC=3 (6分)

B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0） (8分)

(9分)

设平面A1BC的法向量为

令y=1,
(10分)

设BE与平面A1BC所成角为
，
(12分)

21参考答案：

（1）准线L交
轴于
，在
中
所以
,所以
，抛物线方程是
(3分)

在
中有
,所以

所以⊙M方程是：
(6分)

（2）解法一　　　设

所以:切线
；切线
(8分)

因为SQ和TQ交于Q点所以

和
成立

所以ST方程：
(10分)

所以原点到ST距离
，当
即Q在y轴上时d有最大值

此时直线ST方程是
(11分)

所以

所以此时四边形QSMT的面积
(12分)

说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分．

只猜出“直线ST方程是
”未说明理
由的，　该问给2分

利用ＳＭＴＱ四点共圆的性质，写出以ＱＭ为直径的圆方程　得２分

两圆方程相减得到直线ＳＴ方程　　得４分

以后步骤赋分参照解法一．

22参考答案；

（1）函数
的定义域是
　　　　　　　　　

因为
所以有
所以
　　　(１分)

　　　　　(２分)

当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减;　　　　 (３分)

当
时，

若函数
在其定义域内
单调递增，则有
恒成立即

因为

所以
且
时
不恒为0.　　 (４分)

若函数
在其定义域内单调递减，则有
恒成立即

因为
所以

综上，函数
在定义域内单调时
的取值范围是
　　　　(５分)

（2）因为函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，所以

即
所以

所以
　　　　　(６分)

令
　　　　　说明　此处可有多种构造函数的方法，通

所以
　　　(７分)　　　　　　　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数

当
是偶数时，因为
所以
　　　　　　　可参照答案所示　每种情况酌情赋２－３分

所以

所以
即函数
在
单调递减

所以
，即
　　　　(９分)

当
是奇数时，令
则

所以函数
在
单调递减，所以
　(１０分)

又因为
时
所以

所以
即函数
在
单调递减　　(１１分)

所以
，即

综上，对任意的正整数n,当
时，有
.(１２分)