西安市第一中学

2013—2014学年度第二学期模拟考试

高三数学理科试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

选择题（每小题5分，共50分）

1、若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ）

A．5 B.4 C.3 D.2

2．复数
的实部是 （ ）

A． B． C．
D．

3.在等差数列
中，
，则
的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．条件
，条件
，则
是
的（? ）

A．充分非必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

5．已知双曲线
的左、右焦点分别为

,过
作双曲线
的一条渐近线的垂线,垂足为
,若
的中点
在双曲线
上,则双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．3

6. 运行右图所示框图的相应程序,若输入
的值分别为

和
,则输出M的值是（ ）

A.0 B.1 C. 2 D. －1

7． 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． 48 B．

C．
D．80

8. △ABC的三个内角，，
所对的边分别为，
，，

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.设第一象限内的点
满足约束条件
，

若目标函数

的最大值为40，则
的最小值为（ ）

（A）
（B）
（C）1 （D）4

10.规定
表示不超过的最大整数，例如：[3.1]=3，[2.6]= 3，[2]= 2；若
是函数
导函数，设
，则函数
的值域是（ ）

A．
B．
C．
D.

二、填空题（每小题5分，共25分）：

11. 已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a－2b)与c共线，则k＝________.

12．观察下列式子：

,…,根据以上

式子可以猜想：
_________;

13．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是 。

14.如图所示，在一个边长为1的正方形
内，曲线
和曲线
围成一个叶形图（阴影部分），向正方形
内随机投一点（该点落在正方形
内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .

15．请考生任选1题作答，如果多做，则按所做的前1题计分．

（1） （不等式选讲选做题）不等式

的实数解为 ____________

（2）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为

它们的交点坐标为____________

（3）（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB = 7, C是圆上一点使得BC = 5，
则AB =____________

三、解答题（本题6小题,共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

16、(本小题满分12分)设函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）当
时，
的最大值为2，求的值，并求出
的对称轴方程．

17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中,
底面
,且底面
为正方形,
分别为
的中点．

（I）求证:
平面
;

（II）求平面
和平面
的夹角.

18.（本小题满分12分）已知等差数列
的公差大于0,且
是方程
的两根,数列
的前n项的和为
，且
.

?（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）记
,求证：
.www..com 首发

19.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

(ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有
名学生被考官D面试，求
的分布列和数学期望.

20．（本题满分13分）已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为
，倾斜角为
的直线
过点.

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为
，问抛物线
上是否存在一点
，使得
与
关于直线
对称，若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由.

21．（本题满分14分）设函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的方程
在区间
内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

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2013-2014学年度第二学期模拟考试

高三数学理科参考答案

一、选择题(共10小题，满分50分)：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

A

A

C

C

A

B

D





二、填空题（共5小题，满分25分）：

11.1 12.
13.2

14.
15. A.
B.
C.

三、解答题（本题6小题,共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

16、解：（1）

……………………………………… 2分

则
的最小正周期
， …………………………………………4分

且当
时
单调递增．

即
为
的单调递增区间

（写成开区间不扣分）． …………………………………………………6分

（2）当
时
，当
，即
时
．

所以
．……………………………………9分

为
的对称轴．……………………12分

17. 解：（I）如图，以为原点,以
为方向向量

建立空间直角坐标系

则
.

.……………………………4分

设平面
的法向量为

即

令
,www..com 首发

则
. ……………………………………………4分

又
平面
平面
……………………………………6分

（II）底面
是正方形,
又
平面

又
,
平面
。……………………8分

向量
是平面
的一个法向量,
又由（1）知平面
的法向量
. ……………………………………10分

二面角
的平面角为
. ……………………………………12分

18.解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程
的两根，且数列
的公差d>0，

∴a3=5，a5=9，公差

∴
………………3分

又当n=1时，有b1=S1=1－

当

∴数列{bn}是等比数列，

∴
…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
…………9分

∴

∴
…………………………12分

19.解：(1) 第三组的频率为0.065=0.3；

第四组的频率为0.045=0.2；

第五组的频率为0.025=0.1. ……………………3分

(2)(ⅰ)设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试

P(M)=
=
…………—————6分

(ⅱ)

0

1

2



P









 ——————10分

——————12分

20．解：（Ⅰ）抛物线
的焦点为
，准线方程为
，

∴
① …………………………………2分

又椭圆截抛物线的准线
所得弦长为
，

∴ 得上交点为
，∴
②………………………4分

由①代入②得
，解得
或
（舍去），

从而

∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为
………………………6分

（Ⅱ）∵ 倾斜角为
的直线
过点，

∴ 直线
的方程为
，即
，………………………7分

由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为
，设
与
关于直线
对称，则得
， ………………………………………9分

解得
，即
， ………………………………………11分

又
满足
，故点
在抛物线上。所以抛物线
上存在一点
，使得
与
关于直线
对称。 ………………………………13分

21．解：（1）函数
的定义域为
， ………………………1分

∵
，………………………………2分

∵
，则使
的的取值范围为
，

故函数
的单调递增区间为
． …………………………………4分

（2）方法1：∵
，

∴
．……………………6分

令
，

∵
，且
，

由
．

∴
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增， ……………………9分

故
在区间
内恰有两个相异实根

……12分

即
解得：
．

综上所述，的取值范围是
．………………………14分

方法2：∵
，

∴
．……………………6分

即
，

令
，

∵
，且
，

由
．

∴
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减．……………9分

∵
，
，
，

又
，

故
在区间
内恰有两个相异实根
．

……………………………………12分

即
．

综上所述，的取值范围是
．………………………14分