陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校2014届高三第二次联合模拟考试



数学（理）试题

命题学校：交大附中 审题学校：长安一中





一、选择题：在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合
题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 命题
且满足
.命题
且满足
.则
是
的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件[来源:学科网]

2. 抛物线
的准线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 直线
异面，
∥平面
，则对于下列论断正确的是（ ）

①一定存在平面
使
；②一定存在平面
使
∥
；③一定存在平面
使
；④一定存在无数个平面
与
交于一定点.

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

4. 过
的直线
被圆
截得的线段长为2时，直线
的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知
满足不等式

设
，则
的最大值与最小值的差为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

6. 函数

与
的图像交点的横坐标所在区间为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）

分数


5

4

3

2

1



人数

20

10

30

30

10



A.
B．3 C．
D．

8.已知
为单位向量，当
的夹角为
时，
在
上的投影为（ ）

A.5 B.
C.
D.

9. 将1,2,…,9这9个数平均分成三组，则每组的三个
数都成等差数列的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 函数
，关于方程
有三个不同实数解，则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 定积分
的值为____________.

12. 已知直线
与曲线
切于点
，则
的值为__________.

13.函数
，等比数列
中，
，

则
_______________.

14. 已知
面积
和三边
满足：
，则
面积
的最大值为_______________ .

15.本小题有(Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，请考生任选一题做答.如果多做，则按所做的前一题计分.

(Ⅰ)选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是⊙
的切线，
为切点.
是⊙
的一条割线，交⊙
于
两点，点
是弦
的中点.若圆心
在
内部，则
的度数为___________.

（Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程

参数方程
中当
为参数时，化为普通方
程为________
_______.

（Ⅲ）选修4-5：不等式选讲

不等式
的解集为__________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. 正四面体
边长为2.
分别为
中点.

(Ⅰ)求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

17. 观察下面一组组合数等式：
；

；

；

…… ……

(Ⅰ) 由以上规律，请写出第
个等式并证明；

（Ⅱ）随机变量
，求证：
.

18. 向量

.函数
.

(Ⅰ) 若
，求函数
的单调减区间；

（Ⅱ）将函数
的图像向左平移
个单位得到函数
，如果函数
在
上至少存在2014
个最值点，求
的最小值.

19. 设数列
的前n项的和
与
的关系是
.

(Ⅰ) 求数列
的通项；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
.

20. 椭圆
以双曲线
的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线
交于
两点.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程及线段
的长；

（Ⅱ）在
与
图像的公共区域内
，是否存在一点
，使得
的弦
与
的弦
相互垂直平分于点
？若存在，求点
坐标，若不存在，说明理由.

21. 函数
.

(Ⅰ)令
，求
的解析式；[来源:学科网]

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
.

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2014届第二次模拟考试



数学（理）答案



一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8.D 9. A 10. D

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.
12.
13. -9 14.
15. (Ⅰ)
（Ⅱ）
（Ⅲ）
.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）[来源:学#科#网]

16.解：（1）
由已知得

，连接
得
，

平面
.

(2)方法1：过
分别作底面垂线，垂足分别为，则
，[来源:学。科。网]

由

，所以
为二面角
的平面角，在
中，

，

=
.

方法2：空间向量法.底面中心为
，以
分别为
轴建立空间直角坐标系。由题意平面
的法向量为
.平面
的法向量为
，所
以二面角
的余弦值

.

17. 解：（1）
，证略.

(2)由二项分布得：

.

18.解：（1）
，
时
[来源:Zxxk.Com]

所以减区间为
.

(2)
,周期为
，每一个周期有两个最值点，所以
上至少有1007个周期，
2014，
，所以
的最小值为6.

19.解：（1）方法1：数学归纳法证明：由
得
.数学归纳法证明略.

方法2：
时，由
得
，

所以
，
.

(2)由（1）得
所以
，由错位相消法得
.

2
0. 解：（1）椭圆
：
；联立方程组解得
，所以
.

（2）假设存在，由题意将
坐标带入
做差得
，将
坐标带入
得
，
，故满足条件的
点在抛物线
外，所以不存在这样的点
.

21.解：(Ⅰ)
…周期为4，

.

（Ⅱ）方法一：即
在
上恒成立，

当
时，
；

当
时，
，设
，

，

设
，

，则
时
，
增；
减.

而
，所以
在
上存在唯一零点，设为
，则

,所以
在
处取得最大值，在
处取得最小值，
.

综上：
.

方法二：设
，
.

.

当
时，
在
上恒成立，
成立，故
；

当
时，
在
上恒成立，
得
，无解.

当
时，则存在
使得
时
增，
时
减，

故
，
，解得
，故
.

综上：
.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
时
，

即
.

当
时，
，

，

=
，

.