2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案

数学（理工类）

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A

二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17.解：（I）
，所以数列
为等差数列，

则
；-----------------------------------------------3分

，所以
，

则
；-------------------------------------------------------------------6分

（II）
，

则

两式相减得
----------9分

整理得
.-----------------------------------------------12分

18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为
，所以总人数为：
，由直方图可知，第五组人数为:
人，又
为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人

---------------------------------------------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）设事件
甲同学面试成功，则

……………..8分

（Ⅲ）由题意得，

，
,

,

分布列为

0

1

2

3
















…………………..12分

19. （I）
，
为
的中点，
，又底面
为菱形，
，
,又

平面
，又
平面
,平面
平面
;-----------------------------6分

（II）平面
平面
,平面
平面
,

平面
.以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系如图.

则
,设
(
),

所以
，平面
的一个法向量是
，

设平面
的一个法向量为

，所以

取

，-----------------------------------------9分

由二面角
大小为
，可得：

，解得
，此时
--------------------------------12分

20. 解：（I）因为点
在抛物线

上，

所以
，有
，那么抛物线
---------------------------------------2分

若直线
的斜率不存在，直线
:
，此时

-------------------------------------------3分

若直线
的斜率存在，设直线
:
，点
，

，

有
，---------------5分

那么，
为定值.--------------------------------------------------------------------------7分

（II） 若直线
的斜率不存在，直线
:
，此时

若直线
的斜率存在时，

------------------9分

点
到直线
:
的距离
------------------------------10分

，令
，有
，

则
没有最大值.---------------------------------------------------------12分

21. 解：（Ⅰ）当
时，
，则
，

令
，则
，显然
在
上单

调递减.

又因为
，故
时，总有
，

所以
在
上单调递减.---------------------------------------------3分

又因为
，

所以当
时，
，从而
，这时
单调递增，

当
时，
，从而
，这时
单调递减,

　　当变化时，
，
的变化情况如下表：



１







+

0

－







极大







所以
在
上的极大值是
.-----------------------------5分

（Ⅱ）由题可知
，则
.

根据题意方程
有两个不等实数根
，
，且
，

所以
，即
，且
.因为
，所有
.

由
，其中
，

可得

又因为
，
，将其代入上式得：

，整理得
.--------------------------------------------------------8分

即不等式
对任意
恒成立

当
时，不等式
恒成立，即
；

当
时，
恒成立，即

令
，显然
是上的减函数，

所以当
时，
，所以
；

(3)当
时，
恒成立，即

由（2）可知，当
时，
，所以
；

综上所述，
.-------------------------------------12分

22. （Ⅰ）连接
，则
，
，

所以
，所以
，所以
四点共圆.

………………………………..5分

（Ⅱ）因为
，则
，又为
三等分，所以
，
，

又因为
，所以
，
…………………….10分

23.（I）直线
的普通方程为：
；

曲线的直角坐标方程为
---------------------------4分

（II）设点

，则

所以
的取值范围是
.--------------------------10分

24. （I）不等式的解集是
------------------------------5分

（II）要证
，只需证
，只需证

而
，从而原不等式成立.----------------------------------------10分