陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校2014届高三第二次联合模拟考试



数学（文）试题

命题学校：交大附中 审题学校：长安一中





一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.命题
且满足
.命题
且满足
.则
是
的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

2.抛物线
的准线方程为（ ）

A．
B．
C．

D．

3. 直线
异面，
∥平

面
，则对于下列论断正确的是（ ）

①一定存在平面
使
；②一定存在平面
使
∥
；③一定存在平面
使
；④一定存在无数个平面
与
交于一定点.

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

4.过
的直线
被圆
截得的线段长为2时，直线
的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知
满足不等式
设
，则
的最大值与
最小值的差为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

6.函数
与
的图像交点的横坐标所在区间为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知
为单位向量，当

的夹角为
时，
在
上的投影为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）

分数

5

4

3

2

1



人数

20

10

30

30

10



A.
B． 3 C．
D．

9. 在
区间
内随机取
出两个数，则这两个数的平方和也在区间
内的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 函数
，关于方程
有三个不同实数解，则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分
数段的人数为_________人.

12.已知直线
与曲线
切于点
，则
的值为__________.

13.函数
，等差数列
中，
，则
_______.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

14. 已知
面积
和三边
满足：
，则
面积
的最大值为_______________ .

15.本小题有(Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，请考生任选一题做答.如果多做，则按所做的前一题计分.

(Ⅰ)选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是⊙
的切线，
为切点.
是⊙
的一条割线，交⊙
于
两点，点
是弦
的中点.若圆心
在
内部，则
的度数为___.

（Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程

参数方程
中当
为参数时，化为普通方程为_______________.

（Ⅲ）选修4-5：不
等式选讲

不等式
的解集为__________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.正四面体
边长为2.
分别为
中点.

(Ⅰ)求证：
平面
；

（Ⅱ）求
的值.

17. 向量

.函数
.

(Ⅰ)若
，求函数
的单调减区间；

（Ⅱ）将函数
的图像向左平移
个单位得到函数
，如果函数
在
上至少存在2014个最值点，求
的最小值.

18. 设数列
的前n项的和
与
的关系是
.

(Ⅰ) 求
并归纳出数列
的通项（不需证明）；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
.

19. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生[来源:学科网ZXXK]



5





女生

10[来源:学科网]







合计





50



已知在全
部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知喜爱打篮球的10位女生中，
还喜欢打羽毛球，
还喜欢打乒乓球，
还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求
和
不全被选中的概率．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
）

20. 椭圆
以双曲线
的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线
交于
两点.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程及线段
的长；

（Ⅱ）在
与
图像的公共区域内，是否存在一点
，使得
的弦
与
的弦
相互垂直平分于点
？若存在，求点
坐标，若不存在，说明理由.

21. 函数
.

(Ⅰ) 令
，求
的解析式；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2014届第二次模拟考试



数学（文）答案



一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 7.D 8. C 9. C 10. D

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题
共5小题，每小题5分，共25分）

11.
12.
13. 64 14.

15. (Ⅰ)
. （Ⅱ）
. （Ⅲ）
.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.解：（1）由已知得

，连接
得
，

平面
.

（2）
=
.

17..解：（1）
，
时

所以减区间为
（
.

(2)
,周期为
，每一个周期有两个最值点，所以
上至少有1007个周期，
2014，
，所以
的最小值为6.

18.解：（1）：

所以
.

(2)由（1）得
所以
，由错位相消法得
.

19.解：(Ⅰ)列联表补充如下：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5[来源:学科网]

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



(Ⅱ)∵

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

(Ⅲ)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：

，
，

，
，
，
，
，
,

基本事件的总数为18,用
表示“
不全被选中”这一事件，则其对立事件
表示“
全被选中”这一事件，由于
由

, 3个基本事件组成，所以
，

由对立事件的概率公式得
.

20. 解：（1）椭圆
：
；联立方程组解得
，所以
.

（2）假设存在，由题意将
坐标带入
做差得
，将
坐标带入
得
，
，故满足条件的
点在抛物线
外，所以不存在这样的点
.

21.解：(Ⅰ)
…周期为4，

.

（Ⅱ）方法一：即
在
上恒成立，

当
时，
；

当
时，
，设
，

，

设
，

，则
时
，
增；
减.

而
，所以
在
上存在唯一零点，设为
，则

,所以
在
处取得最大值，在
处取得最小值，
.

综上：
.

方法二：设
，
.

.

当
时，
在
上恒成立，
成立，故
；

当
时，
在
上恒成立，
得
，无解.

当
时，则存在
使得
时
增，
时
减，

故
，
，解得
，故
.

综上：
.