长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2014届第一次模拟考试



数学（理）试题

命题学校：高新一中 审题学校：师大附中



注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟．

2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．

3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．

5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．已知集合
则
（ ）

.
.

.
.

2．以下判断正确的是 （ ）

.函数
为上的可导函数，则
是
为函数
极值点的充要条件.

．命题“
”的否定是“
”.

.命题“在
中，若
”的逆命题为假命题.

. “
”是“函数
是偶函数”的充要条件.

3.已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）

.第一像限 .第二像限
.第三像限 .第四像限

4.设
的三边长分别为a、b、c，
的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝ (　　 )

. .
. .

5．曲线
的焦点恰好是曲线
的右焦点，且曲线
与曲线
交点连线过点,则曲线
的离心率是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(
，
)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点 (　　 )

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

7.在
中，点
是
中点.若
，
，则
的最小值是 （ ）

.
.

.
.

8. 若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于(　　 )

.
.

.
.

9. 八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，3个涂白色.若

涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有 （　　 ）

A．36种 B．30种 C．24种 D．20种

10.定义在上的函数
满足：
则不等式

（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）

.
.

.
.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．在平面直角坐标系
中，设是由不等式组
表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 .

12. 设若
，
，则的

值是 .

13．如右所示框图，若
，取
，则输出

的值为 .

14. 方程
在区间
内的所有实

根之和为 .（符号
表示不超过的最大整数）。

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

.设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知
的

极坐标方程是：
，

，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是 .

.（不等式选讲）已知函数
，则函数
的最大

值为 .

.(几何证明选讲）如图,已知
内接于圆O，点在
的延长

线上，
是⊙O的切线，若
,
,则
的长为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共

6小题，共75分）．

16.（本小题满分12分）在
中，角
对边分别是
，满足
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角
的大小．

17.（本小题满分12分）已知数列
中，
且
（
且
）．

（Ⅰ）证明：数列
为等差数列； （Ⅱ）求数列
的前项和
．

18. （本小题满分12分）如图，在四棱柱
中，侧面
⊥底面
，
，底面
为直角梯形，

其中

，O为
中点。

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求锐二面角
的余弦值。

19. (本题满分12分)下表是某市11月10日至23日

的空气质量指数统计表,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天（包括到达的当天）.

日期

10

11

12

13

14

15

16



空气质量指数

85

30

56

153

221

220

150



日期

17

18

19

20

21

22

23



空气质量指数

85

95

150

124

98

210

179



 (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;

20. (本题满分13分) 已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）过右焦点作斜率为
的直线交曲线于
、两点，且
，又点关于原点的对称点为点，试问
、、、四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.

21.（本小题满分14分）设函数

，
.

（Ⅰ）若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的极值点.

（Ⅲ）设
为函数
的极小值点，
的图象与轴交于
两点,且
，
中点为
，求证：
．

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高2014届第一次模拟考试



数学（理）答案



第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：

BDACD ADBCA

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：

11．
12．2 13．

14．2 15. A．[-1, 3] B．5 C．6

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知
， …………1分

由余弦定理
得
，∴
，…………3分

∵
，∴
． …………5分

（Ⅱ）∵
，∴
，
.

． …………8分

∵
，∴
，∴当
，

取最大值
，

此时
． ………… 12分

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） ∵
且
（
且
）．

∴设
，则：

　　　　　　

， …………4分

　　由上可知，数列
为首项是、公差是1的等差数列． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

即：
． …………7分

∴
．

即
．

令
， ①

则
． ② …………9分

②－①，得

．

∴
． …………12分

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图，连接
， 则四边形
为正方形，
，且

故四边形
为平行四边形，
，

又
平面
，
平面

平面
……..6分

（Ⅱ）
为
的中点，
，又侧面
⊥底面
，故
⊥底面
，…………..7分

以
为原点，所
在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则

，…………..8分

，

设
为平面
的一个法向量，由
，得
，

令
，则
………..10分

又设
为平面
的一个法向量，由
，得
，令

，则
，

则
，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为
………..12分

注：第2问用几何法做的酌情给分。

19. (本题满分12分)

解:设
表示事件“此人于11月日到达该市”(=10,11,…,21).

根据题意,
,且
…………………2分

(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则
, 所以
…………………5分

(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3且

…………………9分

所以X的分布列为:







3

















故X的期望
…………………12分

20. (本题满分13分)

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为
，