长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2014届第一次模拟考试



数学（文）试题

命题学校：高新一中 审题学校：师大附中



注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟．

2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．

3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．

5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．已知集合
则
（ ）

.
.

.
.

2．以下判断正确的是（ ）

.函数
为上的可导函数，则
是
为函数
极值点的充要条件.

.命题“
”的否定是“
”.

.命题“在
中，若
”的逆命题为假命题.

.“
”是“函数
是偶函数”的充要条件.

3.已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于（ ）

.第一像限 .第二像限
.第三像限 .第四像限

4.设
的三边长分别为a、b、c，
的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝(　　)

. .

. .

5．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为
、
,则下列判断正确的是（　　）

.
，甲比乙成绩稳定 .
，乙比甲成绩稳定

.
，甲比乙成绩稳定 .
，乙比甲成绩稳定

6．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(
，
)图像的一部分．为

了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点(　　)

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.

.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

7.在
中，点
是
中点.若
，
，则
的最小值是 （ ）

.
.

.
.

8. 若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于(　　)

.
.

.
.

9. 曲线
的焦点恰好是曲线
的右焦点，且曲线
与曲线
交点连线过点,则曲线
的离心率是(　　)

.
.

.
.

10.定义在上的函数
满足：
则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）

.
.

.
.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．在平面直角坐标系
中，设是由不等式组
表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 .

12.设集合
，
，
，
且
，则
的取值范 围是 .

13．如右上所示框图，若
，取
，则输出的值为 .

14.已知函数
，其中
表示不超过实数的最大整数，如
.若
，则
的值域为 .

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

.设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知
的极坐标方程是：

，

，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是 .

.（不等式选讲）若关于的不等式
无解，则实数的取值范围为 .

.如图,已知
内接于圆O，点在
的延长线上，
是⊙O的切线，若
,
,则
的长为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16.（本小题满分12分）在
中，角
对边分别是
，满足
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角
的大小．

17.（本小题满分12分）已知数列
中，
且
（
且
）．

（Ⅰ）证明：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

18.（本小题满分12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增

强市民的环境保护意识， 某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
， 第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.

（1）求该组织的人数.

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19. (本题满分12分)如图，是以
为直径的半圆上异于点
的点，矩形
所在的平面垂直于该半圆所在平面，且
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)设平面
与半圆弧的另一个交点为

①. 求证：
//
;

②. 若
，求多面体
的体积V.

20. (本题满分13分)已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
，若过
的直线交曲线
于
两点，求
的取值范围．

21.（本小题满分14）已知函数
（
）．

（Ⅰ） 讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若函数
的图像在点
处的切线的倾斜角为
，且函数
在区间
上不单调，求的取值范围；

（Ⅲ）试比较＋＋…＋与的大小(n∈N+，且n≥2)，并证明你的结论．

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2014届第一次模拟考试



数学（文）答案



第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：

BDACB ADBDA

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：

11．
12．
13．

14．
15. A．[-1,3] B．
C．6

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知
， …………1分

由余弦定理
得
，∴
，…………3分

∵
，∴
． …………5分

（Ⅱ）∵
，∴
，
.

………8分

∵
，∴
，∴当
，

取最大值
，此时
． ………… 12分

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） ∵
且
（
且
）．

∴设
，则：

　　　　　　

， …………4分

　　由上可知，数列
为首项是、公差是1的等差数列． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

即：
． …………7分

∴
．

即
．

令
， ①

则
． ② …………9分

②－①，得

．

∴
． …………12分

18.（本小题满分12分）

解: 解:（1）由题意：第2组的人数： 35=
,得到：
，

故该组织有100人. …………3分

(2) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第

5组的人数为0.1×100=10. …………5分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60

名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×

6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………7分

(3)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从

6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………9分

其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),共有12种, …………11分

则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

19. (本题满分12分)

解：(Ⅰ)∵E是半圆上异于A、B的点，∴AE⊥EB,

又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，

由面面垂直性质定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，

且二面交线为EB，由面面垂直性质定理得：

AE⊥平面ABE，又EC在平面ABE内，故得：EA⊥EC…………4分

(Ⅱ) ①由CD//AB，得CD//平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE于直线EF，∴根据线面平行的性质定理得：

CD//EF，CD//AB，故EF//AB …………7分

②分别取AB、EF的中点为O、M，连接OM，则在直角三角形OME中，
，因为矩形
所在的平面垂直于该半圆所在平面，
即OM为M到面ABCD之距，又
//
， E到到面ABCD之距也为
， …………9分

则
…………12分

20. (本题满分13分)

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为
，

∵直线