泉州七中2014届高三年上学期第二次月考理科数学试卷2013-11-15

考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：陈炳烈

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.）

1. 已知集合
( )

A.0或1 B.0或3 C.1或3 D.0或1或3

2. 下列命题中，真命题是( )

A.命题“若p，则q.”的否命题是“若p，则
”

B. a+b=0的充要条件是

C.已知命题p、q，若“
”为假命题，则命题p与q一真一假

D. 命题
，则
，使得

3.
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．2

4．已知0

A．M>N B．M

5. 若等比数列
的首项为
，且
，则数列
的公比是( )

A. 3 B.
C. 27 D.

6．若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为(　　)

A.  B.  C．(0,0) D.

7. 已知
为等比数列,
,
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

8. 设
，
是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且
＝4
＋2
，
＝3
＋4
，则△OAB的面积等于 (　　)

A.15 B.10 C. 7.5 D.5

9. 定义在R上的偶函数
满足
，且在[－3，－2]上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．数列{an}中a1＝1，a5＝13，an＋2＋an＝2an＋1；数列{bn}中，b2＝6，b3＝3，bn＋2bn＝b，在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，…，Pn(an，bn)…，则向量＋＋＋…＋P2009P2010的坐标为 (　　)

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的横线上）

11. 若复数
是纯虚数（
是虚数单位），则实数
;

12．已知向量
，

，若向量
，则实数
的值为___.

13．已知

14．在
中，D为BC中点，若
，
，则
的最小值是

15. 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，且有如下零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．给出下列命题：

①若函数y＝f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上有且仅有一个零点；

②函数f(x)＝2x3－3x＋1有3个零点；

③函数y＝和y＝|log2x|的图像的交点有且只有一个；

④设函数f(x)对x∈R都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且函数f(x)恰有6个不同的零点，

则这6个零点的和为18；

其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)

三、解答题（本大题共6小题，满分80分）

16. (本小题满分13分)

函数
的定义域为集合A，函数
的值域为集合B．

（1）求集合A，B；

（2）若集合A，B满足
,求实数a的取值范围．

17、(本小题满分13分)

已知向量
＝
，
，向量
＝(
，－1)

(1)若
，求
的值(；

(2)若
恒成立，求实数
的取值范围。

18．(本小题满分13分)

已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

19、(本小题满分13分)

已知函数

（1）求
的单调递增区间；

（2）将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象. 若
的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是
求数列
的前2n项的和.

20．(本小题满分14分)

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝
－
.

(1)若函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，求正实数a的取值范围；

(2)当a＝1时，求f(x)在[－，1]上的最大值和最小值；

(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋

泉州七中2014届高三年上学期第二次月考理科数学试卷答案

考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：陈炳烈

一、选择题：（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

B

A

A

B

C

D

A

C



二、填空题（每小题4分，共20分）

11． 4 12、
13. 1 14.
15、 ②④

三、解答题（16----19题各13分，20.21题14分，共80分．）

16．解：（1）A=
=

=
，--------3分

B=
．--------6分

（2）∵
，

∴
，--------8分

∴
或
，--------10分

∴
或
，--------12分

即
的取值范围是
．--------13分

17、(本小题满分13分)

17、解：(1)∵
，

∴
，--------2分

得
，--------4分

又
，所以
；--------6分

(2)∵
＝
，--------7分

所以

，--------10分

又?(∈[0，
(]，∴
，

∴
，--------11分

∴
的最大值为16，--------12分

∴
的最大值为4，又
恒成立，所以
。--------13分

18．(本小题满分13分)

解析　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由于a3＝7，a5＋a7＝26，

所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，

解得a1＝3，d＝2. --------4分

由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，

所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)． --------6分

(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)．--------7分

因此bn＝＝(－)．--------9分

故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)

＝(1－)＝
.-------12分

所以数列{bn}的前n项和Tn＝
.--------13分

19、(本小题满分13分)

解：（I）

--------3分

由

--------5分

所以
的单调递增区间是
--------6分

（II）函数
的图象向左平移
个单位后，

得到函数
的图象，即
--------8分

若函数
的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是

则由正弦曲线的对称性，周期性可知，

--------10分

所以

-------13分

20．(本小题满分14分)

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

12．解：（1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．

在△AOB中，A＝90°－30°＝60°--------2分

∴S＝

＝＝
.--------4分

故当t＝时，Smin＝10，--------6分

此时v＝＝30.--------7分

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)由题意可知OB＝vt，

在△AOB中利用余弦定理得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos 60°-------9分

故v2＝900－＋--------10分

∵0＜v≤30，∴900－＋≤900. --------11分

即－≤0，解得t≥，又t＝时，v＝30(海里/小时)，12

故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.--------13分

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．--------14分

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝
－
.

(1)若函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，求正实数a的取值范围；

(2)当a＝1时，求f(x)在[－，1]上的最大值和最小值；

(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋

解析　(1)∵f(x)＝
－
，

∴f′(x)＝
(a>0)． --------1分

∵函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，

∴f′(x)≥0对任意x∈[0，＋∞)恒成立．--------2分

∴a(x＋1)－1≥0对任意x∈[0，＋∞)恒成立，即a≥对任意x∈[0，＋∞)恒成立．

而当x∈[0，＋∞)时，()max＝1，

∴a≥1. --------4分

(2)当a＝1时，f′(x)＝

∴当x∈[－，0)时，f′(x)<0，f(x)在[－，0)上单调递减．

当x∈(0,1]时，f′(x)>0，f(x)在(0,1]上单调递增．

∴f(x)在[－，1]上有唯一极小值点．故f(x)min＝f(0)＝0. --------6分

又f(－)＝1＋ln＝1－ln2，f(1)＝－＋ln2，

∴f(－)－f(1)＝－2ln2＝ ＝.

∵e3>16，

∴f(－)－f(1)>0，即f(－)>f(1)．

∴f(x)在[－，1]上的最大值为f(－)＝1－ln2. --------8分

综上，函数f(x)在[－，1]上的最大值是1－ln2，最小值是 0. --------9分

(3)法一：用数学归纳法．

①当n＝2时，要证1，显然成立．

②假设当n＝k时，不等式＋＋＋…＋1，k∈N*)成立．

则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋

要证lnk＋

令＝x>0，则上式化为0)．

只要证：ln(1＋x)－>0(*)．

由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)－在[0，＋∞)内是增函数．

故有f(x)≥f(0)，即ln(1＋x)≥，x∈[0，＋∞)成立．--------12分

而(*)中x＝(k>1，k∈N*)，x>0，

∴ln(1＋x)－>0，即(*)式成立．

∴当n＝k＋1时，不等式成立．--------13分

由①②知对任意n>1的正整数不等式都成立．--------14分

法二：由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)－在[0，＋∞)上是增函数．

故有f(x)≥f(0)，即ln(1＋x)≥，x∈[0，＋∞)成立．--------10分

令x＝(n∈N*)，则x>0.

∴有ln(1＋x)>，即ln>.--------11分

由此得ln>，ln>，ln>，…，ln>，

则ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，

即得lnn>＋＋＋…＋.--------13分

故对大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋