湖南省2014届高三四校联考

数学（理）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分。时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。）

1．复数l+
与复数
在复平面上的对应点分别是A，B，O为坐标，则∠AOB等于

A．
B．
C．
D．

2．命题“函数
是偶函数”的否定是

A．
B．

C．
D．

3．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表

现已求得上表数据的回归方程
的值为1，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为

A．80分钟 B．90分钟 C．100分钟。 D．1l0分钟

4．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为

A．
B．

C．
D．

5．已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示，则四棱锥的外接球的表面积为

A．24
B．6

C．

D．3

6．某社区四支篮球队参加比赛，现任意将这四支队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则所有可能的比赛情况共有

A．3种 B．6种 C．12种 D．24种

7．当0

A．（0，
） B．（
，1）

C．（1，
） D-（
，2）

8．定义全集U的子集P的特征函数
表示集合P在全集U的补集．已知P
U，Q∈U，下列四个命题中，其中的假命题是

A．若P
Q，则对于任意x
U，都有

B．对于任意x∈ U，都有

C．对于任意x∈U，都有如

D．对于任意x∈U，都有

二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．）

9．函数
的最小正周期为 ．

10．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 ．

11．设某算法流程图如图所示，其输出结果A= ．

12．积分
的值是 ．

13．设z一3x+y，其中x，y满足不等式组
若z的最大值

为8，则z的最小值是 ．

14．设G是△ABC的重心．

（1）若从△ABC内任取一点P，则点P落在△GBC内的概率是 。

（2）若从△GBC内（不含边界），且
的取值范围是 。

15．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai+j，。

则（1）
（n
N*）；

（2）表中的数82共出现 次．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若2sin Acos C=sin B，求
的值；

（2）若sin（2A+B）=3sin B，求
的值。

17．（本小题满分12分）

某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等·且各项测试合格的概率分别为
．

（1）求学生甲和乙至少有一人被录取的概率；

（2）求学生甲测试合格的项数X的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，IN]21Jrr5 ABCD为平行四边形，∠ACB=
，EA⊥平面ABCD，EF//AB，FO//BC，EG//AC，AB=2EF。

（1）在线段AD上是否存在点M，使GM//平面ABFE?并说明理由；

（2）若AC—BC一2AE，求二面角A—BF—C的大小。

19．（本小题满分13分）

在一段笔直的斜坡AC上竖立两根高16米的电杆AB，CD，过B，D架设一条10万伏高压电缆线。假设电缆线BD呈抛物线形状，现以B为原点，AB所在直线为Y轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD恰与电缆线相切于点D（m，n）．

（1）求抛物线BD的方程；

（2）根据国家有关规定，高压电缆周围1 0米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁?

20．（本小题满分13分）

如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，|OC|=
，点P，Q满足
，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M。

（1）求点M的轨迹方程；

（2）若过点F（—1，0）且斜率不为零的直线与点M的轨迹相交于G，H两点，直线AG和AH与定直线l：x= 一4分别相交于点R，S，试判断以RS为直径的圆是否经过点F?说明理由．

21．（本小题满分13分）

已知函数

（1）判断方程
内实根的个数，并说明理由；

（2）设函数
内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…an…，求证：