湖南省2014届高三四校联考

数学（文）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分。时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。）

1．复数i（3+4i）的虚部为

A．3 B．3i C．4 D．4i

2．为了了解某同学的数学学习情况，对他6次数学测

试成绩（满分100分）进行统计，作出茎叶图如右，关

于该同学数学成绩说法正确的是

A．中位数为83 B．众数为85

C．平均数为85 D．方差为19

3．已知集合A={（x，y）|y=log2x}，B={（x，y）|y=x2—2x}，则A
B的元素有

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

4．执行如图所示的程序框图，输出的s的值为

A．一10 B．一3

C．4 D．5

5．若抛物线y2=4x的准线与双曲线
的渐近线的一个交点的纵坐标为2，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．

6．如图，正方体A1B1C1D1—ABCD中，Q是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为

A．
B．

C．
D．

7．△ ABC中，已知3b=
成等差数列，则△ABC的形状为

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

8．设G为△ABc的重心，若角A=120°，
的最小值为

A．
B．
C．
D．
f

9．定义域是R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数
（
∈R）使得f（x+
）+
f（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“
的相关函数”。有下列关于“A的相关函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“A的相关函数"；②f（x）=x2是一个“
的相关函数"；③“2的相关函数”至少有一个零点．其中年碜结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．0

二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．）

10．已知直线
为参数）交于A、B两点，则|AB|=

．

11．若在不等式组
所确定的平面区域内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足x2+y2≤2的概率是 ．

12．若命题“
”为假命题，则实数m的取值范围是 ．．

13．直线y=kx+b与抛物线y=x2十ax+1相切于点（2，3），则b的值为 ．

14．已知数列{an}为等差数列，a1=1，S5=25，若点P1（1，a3），P2（a4，一3），则直线P1P3的斜率为 ．．

15．已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2a·g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则

（1）g(x)= 。

（2）实数以的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分） -

已知函数f（x）=Asin（
的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（

（1）求f（x）的解析式；

（2）若
成立，求m的取值范围．

17．（本小题满分12分）

某停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过]小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）．现有甲、乙两人在该场地停车，两人停车都不超过4小时．

（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
，停车付费多于14元的概率为
，求甲停车付费6元的概率；

（2）若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲乙二人停车付费之和为28元的概率．

18．（本小题满分1 2分）

如图，四边形ABCD与BDEf"均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF、，AC=2

（1）求证：OF⊥平面ABCD；

（2）求二面角F—BC—D的正切值．

19．（表小题满分13分）

已知各项都为正数的数列{an}的前行项和为Sn，且对任意n∈N*。都有2pSn=
（其中p>0为常数），记数列{
}前通项的和为Hn。

（1）求数列{
}的通项公式及Hn

（2）当p=2时，将数列
的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列<玩）的前3项，记{bn}的前船项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n ∈N*。总有Tm

20．（本小题满分13分）

已知与抛物线z2—4y有相同的焦点的椭圆E：
的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，一2），过（0，1）的直线与椭圆E交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点，过C、D分别作抛物线的两切线l1、l2。

（1）求椭圆E的方程并证明l1⊥l2；

（2）求△AMN面积的最大值．

21．（本小题满分13分）

已知函数

（1）若函数f（x在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，当以a2一b取最大值时，求函数f（x）的表达式；

（2）若a=-1，在曲线y一f（x）上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。