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| 简介：
一、选择题（每题5分；共50分） 1．若全集U＝，则集合A＝的补集?UA为( ) A． B． C． D． 2．复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A．在复平面内复数对应的点在第一象限 B．复数的共轭复数 C．若复数为纯虚数，则 D．复数的模 3．已知函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）=－a，则f（log3）=（ ）[来源A． B． C． D． 4．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则,其中真命题的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图是一个六棱柱的三视图，俯视图是一个周长为3的正六边形，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，那么这个球的体积为（ ） A B C D 6. 矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E、F分别为AB、CD的中点，沿EF把BCFE折起后与ADFE垂直，P为矩形ADFE内一动点，P到面BCFE的距离与它到点A的距离相等，设动点P的轨迹是曲线L，则曲线L是（ ） 圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 7．已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 8．A∈平面α。AB=5，AC=,若AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成450角，则BC距离的范围（ ） A. B. C. D. ∪ 9. 在棱长为1的正方体-中，M是BC的中点，P,Q是正方体内部或面上的两个动点，则 的最大值（ ） A. B.1 C. D. 10．若存在区间，使得函数定义域为时，其值域为，则称区间为函数的“倍区间”．已知函数，则的“5倍区间”的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．如图是一个几何体的三视图，俯视图是顶角为120度的等腰三角形， 则这个几何体的表面积为 . 12. 三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为_____________. 13．公差不为0的等差数列的部分项，构成等比数列，且，则= 14．直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AB是BD与BC的等比中项.请利用类比推理给出：三棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，点P在底面上的射影为O，则 . 15．已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体： (1)f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f(x)有零点．那么在函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝2x－1，③f(x)＝④f(x)＝x2－x－1＋ln x中，属于M的有________．(写出所有符合的函数序号) 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若sinAsinC＝，求C． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列． （Ⅰ）求a的值及数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{logan}的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n． 18．（本小题满分12分） 如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,, 为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中. (Ⅰ) 证明:平面； (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值. 19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点． （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实； （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小； （3）求点G到平面BCE的距离． 20．（本小题满分13分） 已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值． 21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞． （Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性； （Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B B C D D C D 11. 12. 13. 14. . 15.②④ 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac． 由余弦定理得cosB＝＝－， 因此B＝120°．……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A＋C＝60°，所以 cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC ＝cos(A＋C)＋2sinAsinC ＝＋2×＝， 故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°．…………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝2－a； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1． ∵{an}为等比数列， ∴2－a＝1，解得a＝1． ∴an＝2n－1． 设数列{bn}的公差为d， ∵b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列， ∴(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)， 又b1＝3， ∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)， 解得d＝0（舍去），或d＝8． ∴bn＝8n－5．………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由an＝2n－1，得logan＝2(n－1)， ∴{logan}是以0为首项，2为公差的等差数列， ∴Tn＝＝n(n－1)． 由bn＝8n－5，Tn＞bn，得 n(n－1)＞8n－5，即n2－9n＋5＞0， ∵n∈N*，∴n≥9． 故所求n的最小正整数为9．……………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. (Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则,, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为. 19.解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，， ，，， （1）点F应是线段CE的中点，下面证明： 设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴， 显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD； ……………………4分 （2）设平面BCE的法向量为， 则，且， 由，， ∴，不妨设，则，即， ∴所求角满足，∴； ……………………8分 （3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴， 由（2）平面BCE的法向量为， ∴所求距离． ……………………12分 解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED， 设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点， 连接FH，则，∴， …………………2分 ∴四边形ABFH是平行四边形，∴， 由平面ACD内，平面ACD，平面ACD； ……………4分 （2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影， 设所求的二面角的大小为，则， ……………………6分 易求得BC=BE，CE， ∴， 而， ∴，而， ∴； ………………8分 （3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE， 由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD ， 又，∴平面ABED， 设G点到平面BCE的距离为，则即， 由，，， ∴即为点G到平面BCE的距离．………………12分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为(x，y)，由题意有 －|x|＝1， 化简，得y2＝2x＋2|x|． 当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0． ∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．………………5分 （Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是 x1＋x2＝2＋，x1x2＝1． ∵l1⊥l2，∴l2的斜率为－． 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1． 故·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝||||＋|||| ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16． 当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16．………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝． ∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0， ∴F′(x)＞0． 故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………4分 （Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2． 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数， ∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜． ∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)． 同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)． 以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．………………………………………8分 （Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为： 设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)． ∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0， ∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn． 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数， ∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜． ∵x1＞0， ∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)． 同理可得 f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)， f(x3)＜f(x1＋x2＋…＋xn)， …… f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)． 以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．………14分 [来源:学&科&网Z&X&X&K]
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