四川省资阳市高中2014届高三第二次诊断考试数学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x| 0＜x＜4}，则集合
＝

（A）{x| 0＜x＜2} （B）{x|－1＜x ≤ 0
}

（C）{x| 2＜x＜4} （D）{x|－1＜x＜0}

2．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为

（A）
6 （B）4 （C）3 （D）2

3．已知i是虚数单位，若
，则z＝

（A）
（B）
（C）
（D）

4．已知a，b∈R，则“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

5．函数
的图象的一条对称轴方程是

（A）
（B）
（C）
（D）

6．从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是

（A）180 （B）360

（C）480 （D）720

7．已知点P在抛物线
上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为
，则点P到x轴的
距离是

（A）
（B）

（C）1 （D）2

8．某算法的程序框图如图所示，则输出S的值是

（A）6

（B）24

（C）120

（D）840

9．将一根长为3m的木棒随机折成三段，折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是

（A）
（B）

（C）
（D）

10．设
，
，且满足
则

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．在平面直角坐标系中，若点
，
，
，则
________．

12．
展开式中
的系数是________．

13．设函数
则
时x的取值范围是________．

14．已知双曲线
的渐近线与圆
有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是__________.

15．设满足条件
的点
构成的平面区域的面积为
，满足条件
的点
构成的平面区域的面积为
（其中
，
分别表示不大于x，y的最大整数，例如
，
），给出下列结论：

①点
在直线
左上方的区域内；

②点
在直线
左下方的区域内；

③
；

④
．

其中所有正确结论的序号是___________．

三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知
．

（Ⅰ）求
的最大值及取得最大值时x的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，
，求△ABC的面积．

17. （本小题满分12分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

频率分布直方图 茎叶图

（Ⅰ）求样本容
量n和频率分布直方图中x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设
表示所抽取的3名同学中得分在
的学生个数，求
的分布列及其数学期望．

18．（本小题满分12分） 在数列
中，前
n项和为
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；[来源:学科网]

（Ⅱ）设
，数列
前n项和为
，求
的取值范围．

19．（本小题满分12分） 设函数
（
）

（Ⅰ）若函数
是定义在R上的偶函数，求a的值；

（Ⅱ）若不等式
对任意
，
恒成立，求实数m的取值范围．

20．（本小题满分13分） 已知点
，
，动点G满足
．

（Ⅰ）求动点G的轨迹
的方程；

（Ⅱ）已知过点
且与
轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹
于P，Q两点．在线段
上是否存在点
，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分） 已知函数
（其中
，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若
，试判断函数
在区间
上的单调性；

（Ⅱ）若
，当
时，试比较
与2的大小；

（Ⅲ）若函数
有两个极值点
，
（
），求k的取值范围，并证明
．

资阳市高中2011级第二次诊断考试

数学参考答案及评分标准（理工类）

一、选择题：BCAAD，DBCCD．

二、填空题：11.
；12. －3；13.
；14.
；15.①③.

三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 解析：（Ⅰ）

． 2分

当
，即
，
时，函数
取得最大值2． 4分

（Ⅱ）由
，得
，

∵
，∴
，解得
． 6分

因为
，根据正弦定理，得
， 8分[来源:学科网]

由余弦定理，有
，

则
，

解得
，
， 10分

故△ABC的面积
． 12分

17. 解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量
，
，

． 3分

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽
取的3名同学中得分在
的学生个数
的可能取值为
，则

，
，
．

所以，
的分布列为

1

2

3















所以，
． 12分

18．解析：（Ⅰ）当
时，
；[来源:学科网ZXXK]

当
时，
，经验证，
满足上式．

故数列
的通项公式
． 4分

（Ⅱ）可知
，

则
，

两式
相减，得
，

所以
． 8分

由于
，则
单调递增，故
，

又
，

故
的取值范围是
． 12分

19．解析：（Ⅰ）由函数
是定义在R上的偶函数，则
恒成立，

即
，所以
，

所以
恒成立，则
，故
． 4分

（Ⅱ）

．

所以
对任意
恒成立，令
，

由
解得
，

故实数m的取值范围是
． 12分

20．解析：（Ⅰ）由
，且
知，动点G的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，设该椭圆的标准方程为
，
，

由题知
，
，则
，

故动点G的轨迹
的方程是
． 4分

（Ⅱ）假设在线段
上存在

，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．直线l与
轴不垂直，设直线
的
方程为

，

由
可得
．

，
． 6分

，
，
，其中
．

由于MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，

所以
，则有
， 8分

从而
，

所以
，

又
，则
，
，

故上式变形为

， 10分

将
代入上式，得
，

即
，所以

，可知
．

故实数m的取值范围是
． 13分

21．
解析：（Ⅰ）由
可知，当
时，由于
，
，[来源:学科网ZXXK]

故函数
在区间
上是单调递减函数． 3分

（Ⅱ）当
时，
，则
， 4分

令
，
，

由于
，故
，于是
在
为增函数， 6分

所以
，即
在
恒成立，

从而
在
为增函数，故
． 8分

（Ⅲ）函数
有两个极值点
，
，则
，
是
的两个根，

即方程
有两
个根，设
，则
，

当
时，
，函数
单调递增且
；

当
时，

，函数
单调递增且
；

当
时，
，函数
单调递减且
．

要使