北京市石景山区2014届高三第一学期期末测试数学理试题

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，那么
（ ）

A．



B．





C．



D．





2．复数
（ ）

A．

B．

C．

D．



3．已知向量
，
，则“
”是“
∥
”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必
要不充分条件



C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件



4．已知数列为等差数列
，，那么数列通项公式为（ ）

A．



B．





C．



D．





5．执行如图所示的程序框图，若输入的
的值为
，

则输出的
的值为（　　）

A．

B．



C．

D．



6． 在边长为
的正方形
中任取一点
，则点
恰好落在正方形与曲线
围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）

A．

B．



C．

D．





7．用
到
这
个数字，可以组成没有重复数字的
三位偶数的个数为（ ）

A．

B．

C．

D．



8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．





第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知圆
的参数方程为

为参数
，则圆
的直角坐标方程为_______________，圆心
到直线
的距离为______．

10．在
中，角
的对边分别为
，若
，
，
，则
______．

11． 若
，
满足约束条件
则
的
最大值为 ．

12．如图，已知在
中，
，
是
上一点，

以
为圆心，
为半径的圆与
交于点
，与
切

于点
，
，
，则
的长为
，

的长为 ．

13．已知抛物线
的焦点为
，
准线为直线
，过抛物线上一点
作
于
，若直线
的倾斜角为
，则
______．

已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线
与
所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥
的高
的长为 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．

16．（本小题满分13分）

北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为
分，规定测试成绩在
之间为体质优秀；在
之间为体质良好；在
之间为体质合格；在
之间为体质不合格．

现从某校高三年级的
名学生中随机抽取
名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

9

1

3

5

6







[来源:学科网]



















8

0

1

1

2

2

3

3

3

4

4

5

6

6

7

7

9



7

0

5

6

6

7

9























6

4

5

8





























5

6



































（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；

（Ⅱ）根据以上
名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取
名学生，再从这
名学生中选出
人．

（ⅰ）求在选出的
名学生中至少有
名体质为优秀的概率；

（ⅱ）记
为在选出的
名学生中体质为良好的人数，求
的分布列及数学期望．

17.（本小题满分14分）

如图，
在四棱锥
中，
平面
，底面
是直角梯形，

，
∥
，且
，
，
为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
（不与
两点重合），使得
∥平面
?
若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分13分）

已知函数
（
为自然对数的底数）.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）已知函数
在
处取得极小值，不等式
的解集为
，若
，且
，求实数
的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆：（）过点
，且椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且
，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

20．（本小题满分13分）

已知集合，对于数列中.

（Ⅰ）若
项数列
满足
，
，则数列
中有多少项取值为零？(
)

（Ⅱ）若各项非零数列
和新数列
满足
（）．

（ⅰ）若首项
，末项
，求证数列
是等差数列；

（ⅱ）若首项
，末项
，记数列
的前
项和为
，求
的最大值和最小值．

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

A

A

C

B

B

D





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案


，






，




，





(两空的题目第一空2分，第二空3分)[来源:Z_xx_k.Com]

三、解答题共6小题，共80分．

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

…………2分

， ……………4分

，
，
，
， ………6分

所以函数
的单调递增区间为

． ……………7分

（Ⅱ）因为
，
， ……………9分

，
， ……………11分

所以当
，即
时，函数
取得最小值
．………13分

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有
人．…………3分

（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为
．

所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为
，从体质为优秀的学生中抽取的人数为
．…6分

（ⅰ）设“在选出的
名学生中至少有名体质为优秀”为事件
，

则
． 故在选出的
名学生中至少有名体质为优秀的概率为
．……9分

（ⅱ）解：随机变量
的所有取值为
．
，

，
． …………12分

所以，随机变量
的分布列为:












[来源:Zxxk.Com]









． ……………13分

17．（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：

因为
平面
，
平面
，

所以
. ……………1分

取
的中点
，连结
，

因为底面
为直角梯形，
∥
，