北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理工类） 2014.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．函数
的定义域为

A．
B．
C．
D．

2．如果点
在以点
为焦点的抛物线
上，则

A．
B．
C．
D．

3．命题
：
；命题
：
，
，则下列命题中为真命题的是

A．
B．

C．
D．

4．在△
中，
，
，
，

则△
的面积等于

A．
B．

C．
或
D．
或

5．执行如图所示的程序框图，输出结果是
．

若
，则
所有可能的取值为

A．
B．

C．
D．

6．已知正方形的四个顶点分别为
，
，
，
，点
分别在线段

上运动，且
，设
与
交于点
，则点
的轨迹方程是

A．
B．

C．
D．

7．已知平面向量
，
的夹角为
，且
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D． 1

8．已知数列
满足
下面说法正确的是

①当
时，数列
为递减数列；

②当
时，数列
不一定有最大项；

③当
时，数列
为递减数列；

④当
为正整数时，数列
必有两项相等的最大项.

A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．

9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在
小时内的人数为_____．

10．在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
．

11．直线
与圆
相交于
,
两点，若
，则实数
的值

是_____．

12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．

13．实数
满足
若
恒成立，则实数
的最大值是 ．

14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．

如：
；

；

．

已经证明：若
是质数，则
是完全数，
.请写出一个四位完全数 ；又
，所以
的所有正约数之和可表示为
；

，所以
的所有正约数之和可表示为
；

按此规律，
的所有正约数之和可表示为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小值；

（Ⅱ）若
，求
的值．

16．（本题满分13分）

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次



甲

58

55

76

92

88



乙

65

82

87

85

95



（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为
，求随机变量
的分布列和期望
．

17．（本题满分14分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）设

分别为
的中点，点
为△
内一点，且满足
，

求证：
∥面
；

（Ⅲ）若
，
，

求二面角
的余弦值．

18．（本题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极小值；

（Ⅱ）若函数
在
上为增函数，求
的取值范围．

19.已知椭圆
两焦点坐标分别为
,
，且经过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）已知点
，直线
与椭圆
交于两点
．若△
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线
的方程．

20．（本题满分13分）

已知
是正数，
，
，
．

（Ⅰ）若
成等差数列，比较
与
的大小；

（Ⅱ）若
，则
三个数中，哪个数最大，请说明理由；

（Ⅲ）若
，
，
（
），且
，
，
的整数部分分别是


求所有
的值．

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学答案（理工类） 2014.1

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

C

B

D

B

A

A

C





二、填空题

题号

9

10

11

12

13

14



答案





















三、解答题

15．解：（Ⅰ）因为

，

又
，所以当
时，函数
的最小值为
.…… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，

所以
．

于是
（舍）或
．

又
． ……………… 13分

16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分

（Ⅱ）随机变量
的所有可能取值为
．

，

，

，

随机变量
的分布列是：




















． ……………… 13分

17．证明：（Ⅰ）因为
平面
，
平面
，

所以
．

又因为
，且
，

所以
平面
．

又因为
平面
，

所以

． ……………… 4分

（Ⅱ）

解法1:因为
平面
，所以
，
．又因为
，

所以建立如图所示的空间直角坐标系
．

设
，
，
，

则
，
，
，

，
．

又因为
，

所以
．

于是
，

，
．

设平面
的一个法向量

，则有

即

不妨设
，则有
，所以
．

因为
，

所以
．又因为
平面
，

所以
∥平面
． ……………… 9分

解法2：

取
中点
，连
，则
.

由已知
可得
,

则点
在
上.连结
并延长交
于
，连
.

因为
分别为
的中点，

所以
∥
,即
为
的中点.

又因为
为线段
的中点，

所以
∥
.

又
平面
,
平面
,

所以
∥平面
．

……………… 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面
的一个法向量
．

又因为
面
，所以面
的一个法向量是
．

又
，

由图可知，二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ……………… 14分

18． 解：（Ⅰ）定义域
．

当
时，
，
．

令
，得
．

当
时，
，
为减函数；

当
时，
，
为增函数.

所以函数
的极小值是
． ……………… 5分

（Ⅱ）由已知得
．

因为函数
在
是增函数，所以
，对
恒成立．

由
得
，即
对
恒成立．

设
，要使“
对
恒成立”，只要
．

因为
，令
得
．

当
时，
，
为减函数；

当
时，
，
为增函数.

所以
在
上的最小值是
．

故函数
在
是增函数时，实数
的取值范围是
…… 13分

19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为
．依题意

，所以
．

又
，所以
．

于是椭圆
的标准方程为
． ……………… 5分

（Ⅱ）依题意，显然直线
斜率存在.设直线
的方程为
，则

由
得
．

因为
,得
． ……………… ①

设
，线段
中点为
，则

于是
．

因为
，线段
中点为
，所以
．

（1）当
，即
且
时，

，整理得
． ………………②

因为
，
，

所以

，

整理得
，解得
或
．

当
时，由②不合题意舍去.

由①②知，
时，
．

（2）当
时，

（ⅰ）若
时，直线
的方程为
，代入椭圆方程中得
.

设
，
,依题意，若△
为等腰直角三角形，则

.即
，解得
或
.
不合题意舍去，

即此时直线
的方程为
.

（ⅱ）若
且
时，即直线
过原点.依椭圆的对称性有
,则依题意不能有
,即此时不满足△
为等腰直角三角形.

综上，直线
的方程为
或
或
. ………………14分

20．解：（Ⅰ）由已知得
=
．

因为
成等差数列，所以
，

则

，

因为
，所以
，即
，

则
，即


，当且仅当
时等号成立．

……………… 4分

（Ⅱ）解法1：令
，
，
，

依题意，
且
，所以
．

故
，即
；且
，即
．

所以
且
．

故
三个数中，
最大．

解法2：依题意
，即
．

因为
，所以
，
，
．

于是，
，
，
，

所以
，
．

因为
在
上为增函数，所以
且
．

故
三个数中，
最大． ……………… 8分

（Ⅲ）依题意，
，
，
的整数部分分别是


，则
，

所以
．

又
，则
的整数部分是
或
．

当
时，
；

当
时，
．

当
时，
，
，
的整数部分分别是
，

所以
，
，
．所以
，解得
．

又因为
，
，所以此时
．

（2）当
时，同理可得
，
，
．

所以
，解得
．又
，此时
．

（3）当
时，同理可得
，
，
，

同时满足条件的
不存在．

综上所述
． ……………… 13分