北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研

数学试卷（文科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时长120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
，集合
，则集合A∩B＝

A. {1，2，4} B. {2，4} C. {0，2} D. {－1，0，1，2，4，6}

2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，1），c＝（－5，－1），则c＋a－2b＝

A. （－8，－1） B. （8，1） C. （0，3） D. （0，－3）

3. 抛物线
的焦点坐标为

A. （0，2） B. （2，0） C. （0，1） D. （1，0）

4. 下列命题：①
；②
；③
；④“
”的充要条件是“
且
”中，其中正确命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 已知
，则

A.
B.
C.
D.

6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是

A. 12 B.
C.
D.

7. 函数
的图象大致是

8. 在圆
内，过点
作n条弦
，它们的长构成等差数列
，若
为过该点最短的弦，
为过该点最长的弦，且公差
，则n的值为

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若曲线
在原点处的切线方程是
，则实数a＝__________。

10. 已知
是等比数列，
，则公比q＝_________。

11. 已知x、y满足约束条件
则
的最小值为_________。

12. 某算法的程序框如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系是_________。

13. 在△ABC中，∠A＝
，BC＝3，
，则∠B＝_________。

14. 函数
则不等式
的解集是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

15. （本题满分12分）

设函数
。

（Ⅰ）设函数
的最小正周期；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值及取得最大值时的x的值。

16. （本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，
，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积。

17. （本小题共12分）

关于x的方程
。

（Ⅰ）当
时，写出方程的所有实数解；

（Ⅱ）求实数k的范围，使得方程恰有8个不同的实数解。

18. （本小题共14分）

已知函数
是常数。

（Ⅰ）求函数
的图象在点
处的切线
的方程；

（Ⅱ）证明：函数
的图象在直线
的下方；

（Ⅲ）若函数
有零点，求实数a的取值范围。

19. （本题满分14分）

已知椭圆
的左右焦点分别为
。在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标为
，AB所在直线的斜率为
。

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）当△ABC的面积最大时，求直线AB的方程。

20. （本题满分14分）

已知数列
是等差数列，
；数列
的前n项和是
，且
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅲ）记
，求
的前n项和
。

参考答案

一、选择题：

1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. A 7. B 8. B

二、填空题：

9. 2 　　　　　　　　　　　10.
　　　11. －3

12.
　　　　　　　13. 75° 　14.
∪

三、解答题：

15. （共12分）

（Ⅰ）因为

4分

， 6分

所以
。

函数
的最小正周期为
。 7分

（Ⅱ）因为
，所以
。

所以，当
，即
时 10分

函数
的最大值为1。 12分

16. （共14分）

（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC，

又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，

∴AE⊥平面BCE。 4分

（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，

∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC＝BE，

∴F是EC中点， 6分

在△AEC中，FG∥AE，

∴AE∥平面BFD。 8分

（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，

∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF， 10分

∵G是AC的中点，

∴F是CE的中点，∴FG∥AE且
，

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE。

∴在Rt△BCE中，
，

， 12分

。 14分

17. （共12分）

（Ⅰ）据题意可令
①，

则方程化为
②，

时
或

6分

（Ⅱ）当方程②有两个不等正根时，

，得
9分

此时方程②有两个根且均小于1大于0，

故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个，

所以
。 12分

18. （共14分）

（Ⅰ）
， 2分

，所以切线
的方程为

，即
。 4分

（Ⅱ）令
则

，解
得
。

（0，1）

1







＋

0

－





↗

最大值

↘




，所以
且
，

即函数
的图象在直线
的下方。 9分

（Ⅲ）
有零点，即
有解，
。

令
，

解
得
。 12分

则
在（0，1）上单调递增，在
上单调递减，

当
时，
的最大值为
，

所以
。 14分

19. （共14分）

（Ⅰ）由椭圆的定义知
。

解得
，所以
。

所以椭圆M的方程为
。 5分

（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为
，

由
得
。 7分

因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，

所以
解得
，且
。 9分

设A，B两点的坐标分别为
，

则
。

所以
。

点
到直线
的距离
。 11分

于是△ABC的面积
，

当且仅当
，即
时“＝”成立。

所以
时△ABC的面积最大，此时直线AB的方程为
。

即为
。 14分

20. （共14分）

（Ⅰ）设
的公差为d，则：
，

2分

。 4分

（Ⅱ）当
时，
，由
，得
。 5分

当
时，
，

，即
。 7分

。 8分

是以
为首项，
为公比的等比数列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
。 10分

。 11分

。

。

。

。 14分