海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （理）

参考答案及评分标准2014．1

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

D

A

B

A

C

B

D



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，

共30分）

9． 2

 10．

 11.
；4



12．

 13．

 14．
；①②③





三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由
得
.

因为

-----------------------------------2分

， -------------------------------------4分

因为在
中，
，

所以
，-------------------------------------5分

所以
,------------------------------------7分

所以
. -----------------------------------8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
,

所以
的最小正周期
. -----------------------------------10分

因为函数
的对称轴为
, -----------------------------------11分

又由
,得
,

所以
的对称轴的方程为
.----------------------------------13分

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由上图可得
,

所以
. --------------------------------3分

（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为

----------------------------------4分

由题意可知随机变量
的取值为：0,1,2,3. ----------------------------------5分

事件“
”的含义是在3次射击中，恰有k次击中目标靶的环数不低于8环.

----------------------------------8分

即
的分布列为

0

1

2

3















所以
的期望是
. ------------------------10分

（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分

17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为底面
是菱形，
,

所以
为
中点. -------------------------------------1分

又因为
,

所以
, ---------------------------------------3分

所以
底面
. ----------------------------------------4分

（Ⅱ）由底面
是菱形可得
,

又由（Ⅰ）可知
.

如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.

由
是边长为2的等边三角形，
，

可得
.

所以
.---------------------------------------5分

所以
,
.

由已知可得
-----------------------------------------6分

设平面
的法向量为
，则

即

令
，则
，所以
.----------------------------------------8分

因为
，----------------------------------------9分

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
，

所以直线
与平面
所成角的大小为
. -----------------------------------------10分

（Ⅲ）设


，则

.---------------------------------11分

若使
∥平面
，需且仅需
且
平面
，---------------------12分

解得
,----------------------------------------13分

所以在线段
上存在一点
，使得
∥平面
.

此时
=
. -----------------------------------14分

18.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
，
. ------------------------------------------2分

当
时，
,
的情况如下表：



2









0







↘

极小值

↗



所以，当
时，函数
的极小值为
. -----------------------------------------6分

（Ⅱ）
.

①当
时，
的情况如下表：



2









0







↘

极小值

↗





--------------------------------7分

因为
, ------------------------------8分

若使函数
没有零点，需且仅需
，解得
,-------------------9分

所以此时
； -----------------------------------------------10分

②当
时，
的情况如下表：



2









0







↗

极大值

↘





--------11分

因为
,且
,---------------------------12分

所以此时函数
总存在零点. --------------------------------------------13分

综上所述，所求实数的取值范围是
.

19.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由题意得
, ---------------------------------------1分

由
可得
, ------------------------------------------2分

所以
, -------------------------------------------3分

所以椭圆的方程为
. ---------------------------------------------4分

（Ⅱ）由题意可得点
, ------------------------------------------6分

所以由题意可设直线
,
.------------------------------------------7分

设
，

由
得
.

由题意可得
,即
且
. -------------------------8分

.-------------------------------------9分

因为
-----------------------------------10分

， ---------------------------------13分

所以直线
关于直线对称. ---------------------------------14分

20.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分

（Ⅱ）函数
不是等比源函数. ------------------------------------4分

证明如下：

假设存在正整数
且
，使得
成等比数列，

，整理得
，-------------------------5分

等式两边同除以
得
.

因为
，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

所以等式
不可能成立，

所以假设不成立，说明函数
不是等比源函数.----------- ------------------8分

（Ⅲ）法1：

因为
，都有
，

所以
，数列
都是以
为首项公差为的等差数列.

，
成等比数列，

因为
，

，

所以

，

所以
，函数
都是等比源函数.-------------------------------------- -----13分

（Ⅲ）法2：

因为
，都有
，

所以
，数列
都是以
为首项公差为的等差数列.

由
，（其中
）可得

，整理得

，

令
，则
，

所以
，

所以
，数列
中总存在三项
成等比数列.

所以
，函数
都是等比源函数.-------------------------------------------13分