丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习

高 三 数 学（理科） 2014.1

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2. 函数
的最小值为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

3. 已知命题p:

,
>
，则
是

（A）

,
≤
（B）

,
≤

（C）

,
<
（D）

,
<

4. 过双曲线
的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

5.如图，已知曲边梯形ABCD的曲边DC所在的曲线方程

为
，e是自然对数的底，则曲边梯形的

面积是

（A）1 （B）e （C）
（D）

6. 已知平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且
等于

（A）1 （B）
（C）2 （D）

7.已知函数

的部分图象如图所示,那么
的表达式为

（A）
（B）

（C）
（D）

8. 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为
（
）的平面所截，截面是一个椭圆.当
为30o时，这个椭圆的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知等差数列
满足
,
，那么
=___________.

10. 甲、乙两位同学近期参加了某学科的四次测试，右图为依据他们的四次测试成绩绘制的折线图.由此可以判断：在甲、乙两位同学中，成绩较稳定的是_______ 同学（填“甲”或“乙”）.

11.二项式
展开式中的常数项为

_________.

12.已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为____.

13．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，

作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是____.

14.若
，其中
的，对于下列结论：①
； ②若
，则
；

③若
，则
；④
成立充要条件为
.

其中正确的是______
___.(请填写序号)

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15. （本小题共13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是
，已知
，
.

（Ⅰ）若b=2，求c；

（Ⅱ）求∠A的大小.

16.（本小题共14分）

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A、B的
一点，∠BAC=45°，点V是圆O所在平面外一点，且VA=VB=
VC，E是AC的中点. [来源:学科网ZXXK]

（Ⅰ）求证：OE∥平面VBC；

（Ⅱ）求证：VO
面ABC；

（Ⅲ）已知
是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的

平面角，且0°
90°,若OA=OV=1，求
的值．

17. （本小题共13分）

某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供
的房源中随机抽取一个房号．已知甲、乙、丙三个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号．目前该小区提供的房源数量如下表所示：

单元号

一单元

二单元

三单元



房源数量（套）

3

3

4



（Ⅰ）求甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率．

18. （本小题共14分）

已知函数
，
的导函数为
.

（Ⅰ）当
=0时，求
的最小值；

（Ⅱ）设
，求函数
的单调区间.

19.（本小题共13分）

已知抛物线C：
(
)的焦点为F（1,0），点O为坐标原点，A，B是曲线C上异于O的两点.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为
,求证：直线AB过定点．

20. （本小题共13分）

已知数列
各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相
应的项数构成的新数列称为数列
的排序数列，例如：数列
满足
，则排序数列为2，3，1.

（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列；

（Ⅱ）求证：数列
的排序数列为等差数列的充要条件是数列
为单调数列；

（Ⅲ）若数列
的排序数列仍为
，那么是否一定存在一项
，证明你的结论.

2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末

数学(理科)试题答案

选择题

ACBB ACDA

填空题

9. 2n-1 10.乙 11. 160 12.
13. 40 14.①②③分

注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若给出④均不得分.

解答题

15.解：（Ⅰ）在△ABC中
,∴
.----
----------------------2分

∵
,∴
,----------------------
-------------2分

∴
,--------------------------------------------------------5分

∴c=4 .--------------------------------------------
-------6分

（Ⅱ）在△ABC中，
，--------------------------------8分

∵
，∴
.-------------------------------10分

∵
，∴
.-------------------------------12分[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∴
.-------------------------------------------------------13分

16. （Ⅰ）证明：

O,E分别是AB和AC的中点，
OE∥BC .--------------2分

又

面VBC,
面VBC.----------------------------3分

面VBC. -----------------------------------------4分

（Ⅱ）证明：

VA=VB，∵ △ABC为等腰三角形，

又
O为AB中点，∴ VO⊥AB;--------------------------------------5分

在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC, △VOA≌△VOC;-----------6分

∴ ∠V0A=∠VOC=90o. ∴ VO⊥OC;--------------------------------------7分

AB∩OC=O, AB
平面ABC, OC
平面ABC, ---------------------8分

∴ VO⊥平面ABC. ---------------------------------------------------9分

（Ⅲ）解：在圆O内，OA=OC，∠CAO=45o，所以CO⊥AO.

由（Ⅱ）VO⊥平面ABC，如图，

建立空间直角坐标系.-------------------------10分

OA=OB=OC=OV=1,

∴ C(1,0,
0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(
,0).

-------------------------------------------11分

=(-1，-1，0),
=(-1，0，1)

设
为平面VBC的法向量，则
，

所以
令
，解得
.----------------------12分

同理，求得平面VOE的法向量为
.--------------------13分

=
，

所以
.----------------------------------------------14分

17.解：

（Ⅰ）设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件A.------------------ ---1分

则

答：甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为
.-------------
------6分

（没有答，不扣分）

（Ⅱ）设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件B.----------7分

则

或

答：甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为
.--------13分

(没有答，不扣分)

18.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为
.

当
=0时，
，
.-----------------------1分

令
得
.--------------------------------------
----2分











-

0

+





递减

极小值

递增



.

------------5分

∴
的最小值为
.--------------------------------6 分

（Ⅱ）

∵

∴
.-----------------------------7分

,--------------------------------------8分

,

.------------------------------------9分

（1）当
时，在
，
内
；在
内
.

∴
为递减区间，
递增区间.----------------11分

(2)当
时，在
内，
；在
内，
.

∴
递减区间，
递增区间.---------------------------13分

综上所述，当
时，
单调递增
区间为
，递减区

间为
；当
时，
单调递增区间为
，减区间[来源:学科网]

为
.-----------------------------------------------------14分

19. 解：（Ⅰ）∵焦点为F（1,0），∴
,∴抛物线方程为
.-----3分

（Ⅱ）方法一：∵直线OA、OB的斜率之积为

∴设直线OA的方程为
；直线OB的方程为
.------5分

联立
得
，同理
.-----------------9分

由抛物线关于x轴对称可知定点在x轴上，那么当A，B横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.-------------------------------11分

令
，解得
，则
=8，点M（8,0）为直线AB过的定点.

----------------------------------------------------------12分

下面证明直线AB过M点

∵
，

由
可知向量
与
共线.

∴直线AB过定点M．----------------------------------------13分

方法二：设
.

（1）若直线AB斜率存在，设其方程为
.---------------4分

即
.----------------------7分

∴
，
.----------------------------------9分

∵直线OA、OB的斜率之积为
，即
,[来源:学.科.网]

∴
，即
,带入直线方程，得直线AB方程为
.

∴即直线AB过定点（8,0）.-------------------------------11分

（2）若直线AB斜率不存在，则
，

由
可得
，

∴直线AB方程为
，过定点（8,0）.-------------------12分

综上，直线AB过定点．---------------------------------13分

20.解：（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.--------------------------------3分

（Ⅱ）证明：充分性：

当数列
单调增时，∵
…
,

∴排序数列为1,2,3，…，n.

∴排序数列为等差数列.----------------------------------4分

当数列
单调减时，∵
…
,[来源:学+科+网Z+X+X+K]

∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 .

∴排序数列为等差数列.

综上，数列
为单调数列时，排序数列为等差数列. ---------5分

必要性：

∵排序数列为等差数列

∴排序数列为1,2,3，…，n或n,n-1,n-2，…，1.--------------7分

∴
…
或
…

∴数列
为单调数列.----------
---------------------------8分

（Ⅲ）∵数列
的排序数列仍为

∴数列
是1,2,3，…，n的某一个排序，----------------9分

假设不存在一项
，即
，

则在各项从小到大排列后
排在第
位--------------------11分

∴排序数列
中
，∴n为偶数12分.

∴当n为奇数时，一定存在一项
,

当n为偶数时，不一定存在一项
.-------------------13分