北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（文史类） 2014.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
,集合
,则
=

A.
B.
C.
D.

2.为了得到函数
的图象，可以把函数
的图象上所有的点

A. 向右平行移动2个单位长度

B．向右平行移动
个单位长度

C. 向左平行移动2个单位长度

D. 向左平行移动
个单位长度

3. 执行如图所示的程序框图，输出的
值为

A. 6 B. 24 C.
D.

4.已知函数
则
是
成立的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 若实数
满足
，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

6. 已知
，且
，则
等于

A.
B.
C.
D.

7. 若双曲线
：
与抛物线
的准线交于
两点，且
，则
的值是

A.
B.
C.
D.

8. 函数
的图象为曲线
，函数
的图象为曲线
，过
轴上的动点
作垂直于
轴的直线分别交曲线
，
于
两点，则线段
长度的最大值为

A．2 B．4 C． 5 D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.已知数列
为等差数列，若
，
，则公差
．

10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 .

11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在
小时内的人数为_____．

12.直线
：
被圆

截得的弦
的长是 .

13.在△
中，
，
，则
；
的最小值是 .

14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）

（1）正三角形 （2）梯形 （3）直角三角形 （4）矩形

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及单调递增区间.

16. （本题满分13分）

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次



甲

58

55

76

92

88



乙

65

82

87

85

95





（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.

17. （本题满分14分）

如图，在三棱锥
中，平面
平面
,
，
．设
，
分别为
，
中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
;

（Ⅲ）试问在线段
上是否存在点
，使得过三点
,
,
的平面内的任一条直线都与平面
平行？若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，请说明理由．

18.（本题满分13分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）若
，求
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值.

19.（本题满分14分）

已知椭圆
两焦点坐标分别为
,
，一个顶点为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为
的直线
，使直线
与椭圆
交于不同的两点
，满足
. 若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.

20. （本题满分13分）

已知数列
的通项
，
.

(Ⅰ)求
；

（Ⅱ）判断数列
的增减性,并说明理由；

(Ⅲ) 设
，求数列
的最大项和最小项.

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学答案（文史类） 2014.1

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

A

B

D

D

D



二、填空题：

题号

9

10

11

12

13

14



答案




，





2,

（1）（2）（4）



三、解答题：

15.解：

（Ⅰ）依题意

.

则
. ………….7分

（Ⅱ）
的最小正周期
.

当
时，即
时,
为增函数.

则函数
的单调增区间为
,
. ………….13分

16 . 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好. ……….6分

（Ⅱ）设事件
：抽到的成绩中至少有一个高于90分.

从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：

共25个.

事件
包含的基本事件有

共9个.

所以
，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为
. ……….13分

17. 证明：

（Ⅰ）因为点
是
中点，点
为
的中点，

所以
∥
．

又因为
面
，
面
，

所以
∥平面
． ………….4分

（Ⅱ）因为平面
面
, 平面
平面
=
,又
平面
，
，所以
面
.

所以
．

又因为
，且
，

所以
面
． ……….9分

（Ⅲ）当点
是线段
中点时，过点
,
,
的平面内的任一条直线都与平面
平行．

取
中点
，连
，连
.

由（Ⅰ）可知
∥平面
．

因为点
是
中点，点
为
的中点，

所以
∥
．

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
．

又因为
，

所以平面
∥平面
，

所以平面
内的任一条直线都与平面
平行．

故当点
是线段
中点时，过点
,
,
所在平面内的任一条直线都与平面
平行． ……….14分

18. 解：（Ⅰ）已知函数
，

所以
，
，

又
，所以
.

又
，

所以曲线
在点
处的切线方程为
. ………….…..…5分

（Ⅱ）
，

令
，则
.

（1）当
时，
在
上恒成立，所以函数
在区间
上单调递增，所以
；

（2）当
时，在区间
上，
，在区间
上，
，所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，且
是

上唯一极值点，所以
；

（3）当
时，在区间
上，
（仅有当
时
），所以
在区间
上单调递减

所以函数
.

综上所述，当
时，函数
的最小值为
，

时，函数
的最小值为
………………13分

19.解：（Ⅰ）设椭圆方程为
.则依题意

，
，所以

于是椭圆
的方程为
……….4分

（Ⅱ）存在这样的直线
. 依题意，直线
的斜率存在

设直线
的方程为
，则

由
得

因为
得
……………… ①

设
，线段
中点为
，则

于是

因为
，所以
.

若
，则直线
过原点，
，不合题意.

若
，由
得，
，整理得
………………②

由①②知，
， 所以

又
，所以
. ……….14分

20．（Ⅰ）
,
. ……….2分

（Ⅱ）

.

则当
时，
，则
时，数列
为递增数列，
;

当
时，
，数列
为递减数列，
. ……….7分

(Ⅲ)由上问可得，
，
.

令
，即求数列
的最大项和最小项.

则


.

则数列
在
时递减，此时
，即
；

数列
在
时递减，此时
，即
.

因此数列
的最大项为
，最小项为
. ……….….13分