哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2014年高三第一次高考模拟考试

文 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，
，则

A．R

B．

C．

D．



2．若复数z满足iz = 2 + 4i，则复数z =

A．2 + 4i

B．2 - 4i

C．4 - 2i

D．4 + 2i



3．命题“
”的否定是

A．

B．



C．

D．



4．等差数列
的前n项和为Sn，若a2 + a4 + a6 = 12，则S7的值是

A．21

B．24

C．28

D．7



5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：

①
，②
，③
，④
，

则输出的函数是

A．

B．

C．

D．

6．变量x，y满足约束条件
则x + 3y最大值是

A．2

B．3

C．4

D．5



7．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：

① 若m∥n，n∥α，则m∥α；

② 若m∥β，α∥β，则m∥α；



③ 若m⊥n，n⊥α，则m∥α；

④ 若m⊥β，α⊥β，则m∥α。



其中正确命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4



8．已知函数
，
，
，的零点依次为a，b，c，则

A．1

B．2

C．3

D．4



9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A．

B．



C．

D．



10．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a > b，b < c时称为“凹数”（如213，312等），若
且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是

A．

B．

C．

D．



11．双曲线
的右焦点为
，以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为
，则双曲线C的离心率为

A．

B．

C．

D．



12．已知函数
的值域是
，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．



第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若
，则
__________。

14．正方形ABCD的边长为2，
，
，则
__________。

15．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

16．已知函数
，给出下列五个说法：

①
；②若
，则
；③
在区间
上单调递增；④函数
的周期为π；⑤
的图象关于点
成中心对称。

其中正确说法的序号是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且
。

（1）求内角B的余弦值；

（2）若
，求ΔABC的面积。

18．（本小题满分12分）

某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API

















空气质量

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重污染

重度污染



天数

4

13

18

30

9

11

15



（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

附：

P(K2 ≥ k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





非重度污染

重度污染

合计



供暖季









非供暖季









合计





100





19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1，点E在SD上，且AE⊥SD。

（1）证明：AE⊥平面SDC；

（2）求三棱锥B—ECD的体积。

20．（本小题满分12分）

椭圆
的离心率为
，且经过点
。过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点， l2与椭圆M交于B，D两点。

（1）求椭圆M的方程；

（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值。

21．（本小题满分12分）

已知函数
（e为自然对数的底数）。

（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
，存在函数
，使得成立
成立，求实数t的取值范围。

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）

选修4 – 1：几何证明选讲

如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ = ∠PBC。求证：

（1）
；

（2）ΔADQ ∽ ΔDBQ。

23．（本小题满分10分）

选修4 – 4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l经过定点
，倾斜角为
。

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求
的值。

22．（本小题满分10分）

选修4 – 5：不等式选讲

设函数
。

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于x的不等式
在
上无解，求实数t的取值范围。

文科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

C

A

D

D

A

D

C

A

B



二、填空题

13．
14．
15．
16． （1）（3）

三、解答题

17．解：(Ⅰ)

……………………….2分

………………………4分

又因为

所以
……………………….6分

(Ⅱ)
……………………….8分

又因为
……………………….10分

所以
……………………….12分

18．解：

（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A

……1分

由
，得
，频数为39，……3分

……………………….4分

（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染

重度污染

合计



供暖季

22

8

30



非供暖季

63

7

70



合计

85

15

100



……………….8分

K2的观测值
……………………….10分

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分

19．(Ⅰ)证明：
侧棱
底面
，
底面

. ……………………….1分

又
底面
是直角梯形，
垂直于
和

,又

侧面
,……………………….3分

侧面

平面
……………………….5分

(Ⅱ)

……7分

在
中

， ……9分

又因为
，

所以点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE ……11分

所以
……12分

20．解：

（Ⅰ）依题意有
，又因为
，所以得

故椭圆
的方程为
. ……4分

（Ⅱ）设直线
，直线
。

联立

得方程
的两个根，即
……6分

故
.

同理，
. ……8分

又因为
，所以
，其中
.

从而菱形
的面积
为

，

整理得
，其中
. ……10分

故，当
或
时， ……11分

菱形
的面积最小，该最小值为
. ……12分

21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，
……………………….2分

∴当
时，
，当
时，
。

∴
在
上单调递增，在
上单调递减。……………………….4分

（Ⅱ）假设存在
，使得
成立，则
。

∵

∴
………………………6分

当
时，
，
在
上单调递减，∴
，即
。

……………………….8分

②当
时，
，
在
上单调递增，∴
，即
。

……………………….10分

③当
时，

在
，
，
在
上单调递减

在
，
，
在
上单调递增

所以
，即
——

由（Ⅰ）知，
在
上单调递减

故
，而
，所以不等式
无解

综上所述，存在
,使得命题成立. ………………………12分

22．证明：

（Ⅰ）连结
.因为△
∽△
，所以
.

同理
.

又因为
，所以
，即
. ……5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以△
∽△
，即
.

故
.

又因为
，

所以△
∽△
. ……10分

23．解：（Ⅰ）圆C：
，直线l：
……………………….5分

（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得
，………………….8分

设
是方程的两个根，则
，所以
……………………….10分

24．解：

（Ⅰ）
，

所以原不等式转化为
……3分

所以原不等式的解集为
………………….6分

（Ⅱ）只要
，……