丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习

高 三 数 学（文科） 2014.1

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)函数
的定义域为

(A)
(B)
(C)
(D)

(2)在复平面内，复数
对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(3)经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是

(A)
(B)
(C)
(D)

(4)命题甲：f(x)是 R上的单调递增函数；命题乙：?x1

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件[来源:Z.xx.k.Com]

(5)已知平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则
等于

(A)
(B)2 (C)
(D)1

(6)函数
的最大值是

(A)2 (B)1 (C)
(D)

(7)设点F1，F2分别是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上任意一点，且
的最小值为
,则椭圆的离心率为

(A)
(B)
(C)
(D)

(8)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点

E是底面的边BC上的动点，设
，则满足

PE⊥DE的λ值有

(A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知等差数列
的首项
，前三项之和
，则
．

(10)已知变量x,y满足
则
的最小值是___________.

(11)从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如下表，则这50人成绩的平

均数为__________,方差为__________.

分
数

5

4

3

2

1



人数

10

5

15

15

5





（注：s2=
，
为数据
的平均数）

(12)若一个算法程序框图如右图，则输出的结果S为_____.

(13)若一个底面是正三角形的三棱柱的三视图如下图所示，则其体积等于_
___.

[来源:学科网ZXXK]

(14)已知函数
,
,若
,则下列五个关系式：①
； ②
； ③
；④
；⑤
.

其中有可能成立的关系式有_____________.（请填写序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)（本题共13分）

在△ABC中内角A,B,C的对边分别是
，已知

.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求b边的长.

(16) （本题共13分）

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于

A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点.

(Ⅰ) 若点E是AC的中点,求证：OE∥平面V
BC；

(Ⅱ) 若VA=VB=VC,求证：VO
平面ABC.

(17) （本题共13分）

某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号.已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元四、五、六3个楼层共5套房，其中四层有1套房，五层、六层各有2套房.

（Ⅰ）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率.

(18) （本题共14分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值点；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

(19) （本题共14分）

已知抛物线C：
(
)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为
,求证：直线AB过
轴上一定点.

(20) （本题共13分）

某市实行机动车摇号购车政策，规定每年购车指标为24万个，设2014年初全市汽车保有量为500万辆，假设每年淘汰的旧车为该年初汽车保有量的4%，每年新购车辆数等于该年购车指标.

（Ⅰ）求2015年初和2016年初全市汽车保有量（万辆）；

（Ⅱ）设2014年初的汽车保有量为
,
年后汽车保有量为
,求证：数列
为等比数列；

（Ⅲ）要想将全市每年的汽车保有量控制在550万
辆以下，是否需要调整每年的购车指标，若不需调整，说明理由，若需调整，求出每年购车指标的最大值（万个）.

2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末

数学(文科)试题答案

一、选择题

CADA DBBC

二、填空题:

（9） 2
-1 （10） 2 （11） 3; 1.6 （12）

（13）
（14）①②⑤

注:
14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若答案中含有③④不得分.

三、解答题:

(15)解：

（Ⅰ）正弦定理
，-----------------------------------3分

所以
-------------------------6分

（Ⅱ）由余弦定理
，----------------------------9分

得
，解得，b=
.----------------------12分

B的值为
------
--------------------------------------13分

(16)证明：

(Ⅰ)
O,E分别是AB和AC的中点，-----------1

OE∥BC .----------------------------3分

又

面VBC,
面VBC.-- -------5分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

面VBC. ---------------------- --6分

（Ⅱ）
VA=VB，∵ △ABC为等腰三角形，

又
O为AB中点，∴ VO⊥AB;----- --------8分

连接OC，在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC,

△VOA≌△VOC;- ---------------------------------------------------10分

∴ ∠V0A=∠VOC=90o. ∴ VO⊥OC;-------------------------------------11分

AB∩OC=O, AB
平面ABC, OC
平面ABC, --------------------
12分

∴ VO⊥平面ABC. -----------------------------------------13分

(17)解：将这5套进行编号，记四层的1套房为a，五层的两套房分别为b1,b2,六层的两套房分别为c1,c2，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),

(b2,c2),(c1,c2)共1
0种.-----------------------------------7分

（注：写出5个以上情况的给4分，但不全的；按有顺序情况写出10个给4分，全部正确给8分）

（Ⅰ）甲、乙两个家庭能住在同
一楼层的可能情况有2种，

所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为
.--------------10分

（Ⅱ）甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的可能情况有6种，所以甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率为
.----------------------------13分

(18)解：

（Ⅰ）当
时，
.------------------------1分

所以
.--------------------------------------3分

令
得，
.-------------------------------4分

与

变化规律如下表：

x

(-∞,-2)

-2

(-2,1)

1

(1,+∞)





+

0

-

0

+





↑

极大值

↓

极小值

↑



所以函数
的极大值点为-2，极小值点为1.-------------------6分

（Ⅱ）
----------
-----------------------------8分

令
,得
.---------------------------------9分

（1）当
时,
,
在的单调递增区间为
-----10分

（2）当
时，
与
变化规律如下表：

x

(-∞,-2a)

-2a

(-2a,a)

a

(a,+∞)





+

0

-

0[来源:学科网ZXXK]

+





↑

极大值

↓

极小值

↑



所以f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞)，减区间是(-2a,a)------- 12分

（3）当
时，
与
变化规律如下表：

x

(-∞,a)[来源:学科网ZXXK]

a

(a,-2a)

-2a

(-2a,+∞)





+

0

-

0

+





↑

极大值

↓

极小值

↑



所以f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞)，减区间是(a,-2a)

综上所述，当
时,
,f(x)在R上单调递增；

当
时，f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞)，减区间是(-2a,a)；

当
时，f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞)，减区间是(a,-2a).--14分

（无综上所述不扣分）

(19)解：

（Ⅰ）因为抛物线
的焦点坐标为
，所以
.

得到抛物线方程为
.----------------------------------4分

（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时设A

因为直线
的斜率之积为
,所以
化简得
.

所以
,此时直线AB的方程为
.----------
------7分

②当直线AB的斜率存在时设直线的方程为

联立方程
化简得
.------------------9分

根据韦达定理得到
,因为直线
的斜率之积为
,

所以得到
即
.--------------------11分

得到
,

化简得到
（舍）或
.--------------------12分

又因为
,所以
.

上所述，直线AB过定点（8，0）.-------------------------14分

(20)解：

（Ⅰ）根据题意2015年汽车保有量为
-------2分

2016年汽车保有量为
-----4分

（Ⅱ）根据题意有
----------------------
----------5分

因为

又因为

所以
是以-100为首相，公比为0.96的等比数列.------8分

（Ⅲ）由（2）可知，设每年购车指标为
万辆，则
.

变形可得：
.

所以{
}是以
为首项，0.96为公比的等比数列.

所以

所以
-----------------------------10分

当500-25
≥0，即0<
≤20时，
随n增大而减小，

因为
,所以
，即
，成立.

当500-25
<0，即
>20时，
，
且
,

所以，只需
，即
.------------------------------12分

每年购车指标调整为22万个，汽车保有量会控制在550万辆以下.--13分