海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （文）

参考答案及评分标准 2014．1

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

A

C

B

D

B



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，

9． 2

 10． 16

 11. 7



12．

 13． 50，1015

 14．
;①②③



共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
. ------------------------3分

（Ⅱ）由
得
.

因为

------------------------------------5分

， -------------------------------------7分

所以
的最小正周期
. -------------------------------------9分

因为函数
的对称轴为
, ------------------------------11分

又由
,得
,

所以
的对称轴的方程为
.-----------------------------------13分

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由上图可得
,

所以
. ----------------------------------4分

（Ⅱ）设事件A为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.

所以
. ----------------------------------9分

（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分

17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为底面
是菱形，

所以

. ----------------------------1分

又因为
平面
， -------------------3分

所以
平面
. --------------------------4分

（Ⅱ）因为
，点是棱
的中点，

所以
. ----------------------------------5分

因为平面
平面
,平面
平面

,
平面
,

----------------------------------7分

所以
平面
, ------------------------------------8分

因为
平面
,

所以
. ------------------------------------9分

（Ⅲ）因为
，点是棱
的中点，

所以
. --------------------------------10分

由（Ⅱ）可得
， ---------------------------------11分

所以
平面
， --------------------------------13分

又因为
平面
,

所以平面
平面
. --------------------------------14分

18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
,
. -------------------------------2分

因为函数
是区间
上的增函数，

所以
，即
在
上恒成立.------------------------------3分

因为
是增函数，

所以满足题意只需
，即
. -------------------------------5分

（Ⅱ）令
，解得
-------------------------------6分

的情况如下：













0







↘

极小值

↗



 --------------------------------------10分

①当
，即
时，
在
上的最小值为
，

若满足题意只需
，解得
，

所以此时，
； --------------------------------------11分

②当
，即
时，
在
上的最小值为
，

若满足题意只需
，求解可得此不等式无解，

所以不存在； ------------------------12分

③当
，即
时，
在
上的最小值为
,

若满足题意只需
，解得
,

所以此时，不存在. ------------------------------13分

综上讨论，所求实数的取值范围为
.

19. （本小题共14分）

解：（Ⅰ）由题意可得
， ----------------------------------1分

又由题意可得
，

所以
， ----------------------------------2分

所以
, ----------------------------------3分

所以椭圆的方程为
. ---------------------------------4分

所以椭圆的右顶点
， --------------------------------5分

代入圆的方程，可得
,

所以圆的方程为
. ------------------------------6分

（Ⅱ）法1：

假设存在直线:

满足条件， -----------------------------7分

由
得
----------------------------8分

设
，则
, ---------------------------------9分

可得中点
， --------------------------------11分

由点在圆上可得

化简整理得
--------------------------------13分

又因为
，

所以不存在满足条件的直线. --------------------------------14分

（Ⅱ）法2：

假设存在直线满足题意.

由（Ⅰ）可得
是圆的直径， -----------------------------7分

所以
. ------------------------------8分

由点是
中点，可得
. --------------------------------9分

设点
，则由题意可得
. --------------------------------10分

又因为直线的斜率不为0，所以
, -------------------------------11分

所以
,-------------------------------13分

这与
矛盾，所以不存在满足条件的直线. --------------------------14分

20. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）只有
是N函数. ----------------------------3分

（Ⅱ）函数
是N函数.

证明如下：

显然，
，
. ---------------------------------------4分

不妨设
,

由
可得
，

即
.

因为
，恒有
成立，

所以一定存在
，满足
，

所以设
，总存在
满足
，

所以函数
是N函数. ---------------------------------------8分

（Ⅲ）（1）当
时，有
，

所以函数
都不是N函数. ---------------------------9分

（2）当
时，① 若
，有
，

所以函数
都不是N函数. ------------------10分

② 若
，由指数函数性质易得

，

所以
，都有

所以函数
都不是N函数. -----------------11分

③ 若
，令
，则
，

所以一定存在正整数使得
，

所以
，使得
，

所以
.

又因为当
时，
,所以
；

当
时，
,所以
，

所以
，都有
，

所以函数
都不是N函数.-------- ----------13分

综上所述，对于任意实数
，函数
都不是N函数.