上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷（理卷）

2014.1

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.
___________.

2. 不等式
的解是___________.

3.已知数列
中，
，
，则
=___________.

4.已知
是方程
的两根，则
=_______.

5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，
丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.

6.已知函数
的反函数为
，则
___________.

7.已知复数
是 实数，则
=___
________.

8．二项式
的展开式中，含
的项的系数是___________.

9.在锐角

中,
，三角形的面积等于
，则
的长为___________.

10. 已知圆锥的底面半径为3，体积是
，则圆锥侧面积等于___________.

11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出
2人作为社区志愿者，若用随机变量
表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量
的数学期望
=_____（结果用最简分数表示）. [来源:学科网]

13. 用
表示集合S中的元素的个数，设
为集合，称
有为有序三元组．如果集合
满足
，且
，则称有序三元组
为最小相交．由集合
的子集构成的所有有序三元组中
，最小相交的有序三元组的个数为 ．

14. 已知函数
，对任意
都有
，且
是增函数，则

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项
，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15.设
，则下列不等式一定成立的是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

16. 方程
的解的个数为（ ）

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

17.已知函数
则

（ ）

(A) 2010
(B) 2011
(C) 2012
(D) 2013

18. 如图所示，点
是圆
上的三点，线段
与线段
交于圆内一点,若
，则（ ）

(A)
； (B)
；

(C)
； (D)
；

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，四棱锥
的底面是正方形，
⊥平面
，

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小.

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度
（分贝）由公式
(
为非零常数)给出，其中
为声音能量.

（1）当声音强度
满足
时，求对应的声音能量
满足的等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为
时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为
时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.

21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，设
是单位圆上一点，一个动点从点
出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.
秒时，动点到达点
，
秒时动点到达点
.设
，其纵坐标满足
.

（1）求点
的坐标，并求
；

（2）若
，求
的取值范围.

22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知实数
，函数
.

（1）当
时，求
的最小值;

（2）当
时,判断
的单调性,并说明理由；

（3）求实数
的范围，使得对于区间
上的任意三个实数
，都存在以
为边长的三角形.[来源:Z。xx。k.Com]

23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

设项数均为
（
）的数列
、
、
前
项的和分别为
、
、
. 已知集合
=
.

（1）已知
，求数列
的通项公式；

（2）若

，试研究
和
时是否存在符合条件的数列对（
，
），并说明理由；

（3）若
，对于固定的
，求证：符合条件的数列对（
，
）有偶数对.

[来源:Z§xx§k.Com]

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷
答案（理卷）

2014.1

一、填空题.

1.
2.
（或
） 3.
4. 1 5. 30 6.

7.
8． -126 9.
10.

11. （理）
12. 1＜
＜4 13. 96 14.6

二、选择题

15. D 16. B 17. D 18. B

三、解答题

19.
解:（1）连接BD，∵
⊥平面

平面

∴AC⊥SD ………………4分

又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴AC ⊥平面SBD

∴AC⊥SB. ………………6分

（2）设
的中点为
，连接
、
，

∵SD=AD,CS=CA,

∴DE⊥SA, CE⊥SA.

∴
是二面角
的平面角. …………9分

计算得：DE＝
，CE＝
，CD＝2，则CD⊥DE.

,

所以所求二面角的大小为
.………12分

20.解：（1）

…………………………2分

………………………………………………4分

…………………………………………………6分

（2）由题意得
………………………………………8分

………………………………………10分

……………………………
…………………………13分

答：当声音能量
时，人会暂时性失聪. ………………………………14分

21、解: (1)当
时，
，

所以

所以，点B的坐标是（0，1） ……………………………………………………2分

又
秒时，
………………………………………………………4分

. …………………………………………………………6分

（2）由
，
，得
，

又
，

，…………………………8分

………………………………10分

，
，
…………12分

所以，
的取值范围是
………………………………14分

22、解：易知
的定义域为
，且
为偶函数.

（1）
时,
………………………2分

时
最小值为2. ………………………4分

（2）
时,

时，
递增；
时，
递减； ………………………6分

为偶函数.所以只对
时，说明
递增.

设

，所以
，得

所以
时，
递增； ……………………………………………10分

（3）
，

，

从而原问题等价于求实数
的范围，使得在区间
上，

恒有
. ……………………………………………………………11分

①当
时，
在
上单调递增，

由
得
，

从而
； …………………………………………………………………12分

②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

，

由
得
，从而
；……………………13分

③当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

，

由
得
，从而
； …………………14分

④当
时，
在
上单调递减，

由
得
，从而
；……………………………………………15分

综上，
. …………………………………………………………………16分

23、解：（1）
时，

时，
，
不适合该式

故，
…………………………………………………………4分

（2）
，

时，

……………………6分

当
时，
，
，
，

=

数列
、
可以为（不唯一）：

6,12,16,14；2,8,10,4 ② 16,10,8,14；12,6,2,4 …………………8分

当

时，

此时
不存在. 故数列对（
，
）不存在
. ………………………………10分[来源:学。科。网]

另证：

当
时，

（3）令
，
（
） …………………12分

[来源:学科网ZXXK]

又
=
，得

=

所以，数列对（
，
）与（
，
）成对出现。 ……………………16分

假设数列
与
相同，则由
及
，得
，
，均为奇数，矛盾！

故，符合条件的数列对（
，
）有偶数对。 ……………………18分